Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức
Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).
- Cách viết khác của định nghĩa:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
- Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:
Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in \left( {a;b} \right),x \ne {x_0}\).
Bước 3: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) tồn tại.
- Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\) là:
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t là v(t) = s’(t).
Giải mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ 1
Video hướng dẫn giải
Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
b) Giới hạn cho ta biết điều gì?
Phương pháp giải:
Vận tốc trung bình bằng tổng quãng đường đi được chia cho thời gian chuyển động.
Lời giải chi tiết:
a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là .
b) Khi t càng gần t0, tức là càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm .
HĐ 2
Video hướng dẫn giải
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
b) Giới hạn cho ta biết điều gì?
Phương pháp giải:
Cường độ trung bình của dòng điện là thương số giữa điện lượng chuyển qua bề mặt trong khoảng thời gian đó và khoảng thời gian đang xét.
Lời giải chi tiết:
a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t là .
b) Khi t càng gần t0, tức là càng nhỏ thì cường độ trung bình càng thể hiện được chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm .
Giải mục 2 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Luyện tập 1 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức
Tính đạo hàm của hàm số y=−x2+2x+1 tại điểm x0=−1.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
nếu tồn tại giới hạn hữu hạn .
Lời giải chi tiết
.
Vậy .
Giải mục 3 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ 3
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm tại điểm bất kì trong các trường hợp sau:
a) (c là hằng số);
b) .
Phương pháp giải:
nếu tồn tại giới hạn hữu hạn .
Lời giải chi tiết:
a)
.
b)
.
LT 2
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ;
b) (với k, c là các hằng số).
Phương pháp giải:
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là .
Lời giải chi tiết:
a) Với bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
b) Với bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số .
Giải mục 4 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ 4
Video hướng dẫn giải
Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm Xét điểm thay đổi trên (C) với
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
Phương pháp giải:
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm và với là .
Lời giải chi tiết:
a) Hệ số góc của cát tuyến PQ là .
b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm và khi hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.
LT 3
Video hướng dẫn giải
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ .
Phương pháp giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đạo hàm .
Lời giải chi tiết:
Ta có nên Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là k = 1.
HĐ 5
Video hướng dẫn giải
Cho hàm số có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ .
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Phương pháp giải:
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đạo hàm .
- Phương trình đường thẳng với hệ số góc k có dạng .
Lời giải chi tiết:
a) Ta có nên .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là k = 2.
b) Ta có nên .
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng
.
Vậy phương trình tiếp tuyến là .
LT 4
Video hướng dẫn giải
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ .
Phương pháp giải:
- Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là , trong đó .
- Từ ví dụ 2 có .
Lời giải chi tiết:
Ta có nên .
Ngoài ra , nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
hay .
VD
Video hướng dẫn giải
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức .
Lời giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB, tia Ox trùng với tia OB, tia Oy hướng lên trên.
Phương trình parabol có dạng .
Khi đó , . Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h). Ta có hệ:
.
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là .
Ta có . Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là:
, .
Do đó .
Vì độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có .
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
Bài 9.1 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {x^2} - x\) tại \({x_0} = 1\);
b) \(y = - {x^3}\) tại \({x_0} = - 1\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1\).
Vậy \(f'\left( 1 \right) = 1\).
b) \(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - {x^3} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3\).
Vậy \(f'\left( { - 1} \right) =- 3\).
Bài 9.2 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) (với k, c là các hằng số);
b) .
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là .
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
b) Với bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 4x\), biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1\);
b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right)\)
\(= - 2{x_0} + 4\).
Vậy hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = - 2x + 4\).
a) Ta có:
\(f'\left( 1 \right) = - 2.1 + 4 = 2\);
\(f\left( 1 \right) = 3\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)
b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)
+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\).
+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) = - 4\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y = - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y = - 4x + 16\).
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức . Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là , trong đó .
Lời giải chi tiết
Với bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
Độ cao của vật khi nó chạm đất thỏa mãn
Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là (m/s).
Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là -19,6 m/s.
Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên và đoạn dốc xuống là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, và phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là , trong đó x tính bằng mét.
a) Tìm c.
b) Tính y'(0) và tìm b.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hệ số góc của tiếp tuyến là .
Lời giải chi tiết
a) Vì gốc toạ độ đặt tại P nên P(0;0) do đó ta có c = y(0) = 0.
b) .
Mà L1 là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên .
c) L2 là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc – 0,75 nên .
Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên .
.
d) .
Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là .
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 11
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương IX. Đạo hàm
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 11
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 11 Lớp LOP11
Sau khi học xong "Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!