HĐ 5 - Video hướng dẫn giải a) Với h≠0, biến đổi hiệu sin(x+h)−sinx thành tích. b) Sử dụng đẳng thức giới hạn limh→0sinhh=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Phương pháp giải: - Công thức lượng giác sina−sinb=2cosa+b2.sina−b2. - f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limx→x0f(x)−f(x0)x−x0. Lời giải chi tiết: a) sin(x+h)−sinx=2cos2x+h2.sinh2 b) Với x0 bất kì, ta có: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 =limx→x0sinx−sinx0x−x0 =limx→x02cosx+x02.sinx−x02x−x0 =limx→x0sinx−x02x−x02.limx→x0cosx+x02 =cosx0. Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y′=cosx.

HĐ 8 - Video hướng dẫn giải a) Sử dụng phép đổi biến t=1x, tìm giới hạn limx→0(1+x)1x. b) Với y=(1+x)1x, tính lny và tìm giới hạn của limx→0lny. c) Đặt t=ex−1. Tính x theo t và tìm giới hạn limx→0ex−1x.

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa số e (SGK Toán 11 tập 2 trang 13, bộ sách KNTT): e=limx→+∞(1+1x)x. Lời giải chi tiết: a) Ta có t=1x nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng, do đó: limx→0(1+x)1x=limt→+∞(1+1t)t=e. b) lny=ln(1+x)1x=1xln(1+x). limx→0lny=limx→0ln(1+x)x=1. c) t=ex−1⇔ex=t+1⇔x=ln(t+1). limx→0ex−1x=limt→0tln(t+1)=1.

LT 3 - Video hướng dẫn giải Tính đạo hàm của hàm số y=sin(π3−3x).

Phương pháp giải: Sử dụng công thức (sinu)′=u′.cosu. Lời giải chi tiết: y′=(π3−3x),cos(π3−3x) =−3cos(π3−3x).

HĐ 6 - Video hướng dẫn giải Bằng cách viết y=cosx=sin(π2−x), tính đạo hàm của hàm số y=cosx.

Phương pháp giải: Sử dụng công thức (sinu)′=u′.cosu. Lời giải chi tiết: y′=(cosx)′=(π2−x)′cos(π2−x) =−cos(π2−x)=−sinx.

Đạo hàm của hàm số $y = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)$ là:

2\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

-\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

-2\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

HĐ 5 - Video hướng dẫn giải a) Với h≠0, biến đổi hiệu sin(x+h)−sinx thành tích. b) Sử dụng đẳng thức giới hạn limh→0sinhh=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Phương pháp giải: - Công thức lượng giác sina−sinb=2cosa+b2.sina−b2. - f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limx→x0f(x)−f(x0)x−x0. Lời giải chi tiết: a) sin(x+h)−sinx=2cos2x+h2.sinh2 b) Với x0 bất kì, ta có: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 =limx→x0sinx−sinx0x−x0 =limx→x02cosx+x02.sinx−x02x−x0 =limx→x0sinx−x02x−x02.limx→x0cosx+x02 =cosx0. Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y′=cosx.

HĐ 8 - Video hướng dẫn giải a) Sử dụng phép đổi biến t=1x, tìm giới hạn limx→0(1+x)1x. b) Với y=(1+x)1x, tính lny và tìm giới hạn của limx→0lny. c) Đặt t=ex−1. Tính x theo t và tìm giới hạn limx→0ex−1x.

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa số e (SGK Toán 11 tập 2 trang 13, bộ sách KNTT): e=limx→+∞(1+1x)x. Lời giải chi tiết: a) Ta có t=1x nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng, do đó: limx→0(1+x)1x=limt→+∞(1+1t)t=e. b) lny=ln(1+x)1x=1xln(1+x). limx→0lny=limx→0ln(1+x)x=1. c) t=ex−1⇔ex=t+1⇔x=ln(t+1). limx→0ex−1x=limt→0tln(t+1)=1.

Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức

Q: HĐ 1 - Video hướng dẫn giải a) Tính đạo hàm của hàm số y=x3 tại điểm x bất kì. b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y=xn(n∈N∗).

Phương pháp giải: Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f′(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y′=f′(x). Lời giải chi tiết: a) Với x0 bất kì, ta có: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x3−x30x−x0 =limx→x0(x−x0)(x2+xx0+x20)x−x0 =limx→x0(x2+xx0+x20)=3x20. Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số . b) .

Q: HĐ 3 - Video hướng dẫn giải a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì. b) So sánh: và

Phương pháp giải: +) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn . +) . Lời giải chi tiết: a) Với bất kì, ta có: . Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số . b) Do đó = .

Q: HĐ 4 - Video hướng dẫn giải Cho các hàm số y=u2 và . a) Viết công thức của hàm hợp theo biến x. b) Tính và so sánh: và .

Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc . - Sử dụng công thức . Lời giải chi tiết: a) . b) , , . . Vậy = .

Q: Giải mục 1 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 2 trên Tri Thức Hub.

Q: HĐ 2 - Video hướng dẫn giải Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm x > 0.

Phương pháp giải: Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là . Lời giải chi tiết: Với bất kì, ta có: . Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

Q: LT 1 - Video hướng dẫn giải Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ; b) .

Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc ; ; . - Sử dụng công thức ; . Lời giải chi tiết: a) . b) .

Q: LT 2 - Video hướng dẫn giải Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ; b) .

Phương pháp giải: Đạo hàm của hàm số hợp: . Lời giải chi tiết: a) . b) .

Cỡ chữ:

Nền:

🃏

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Lật thẻ nhớ nhanh

Chỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải

Tiến độ:0/3 đã nhớ (0%)

🎯 Trắc nghiệm trọng tâmThẻ 1 / 3

Cho hàm số

y = x^4 - 2x^2 + 3

. Đạo hàm của hàm số là:

🔄Bấm vào thẻ để lật xem đáp ánĐộ dài: 60s

✅ Trọng tâm ghi nhớThẻ 1 / 3

4x^3 - 4x

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức

★ Kiến thức cốt lõi

Đọc kỹ đề bài và gạch chân các từ khóa quan trọng (tất cả, còn lại, hơn, kém, gấp lần).

Thực hiện các phép tính cẩn thận từ trái sang phải, ưu tiên trong ngoặc trước, nhân chia trước cộng trừ sau.

Kiểm tra lại kết quả và đơn vị đo (cm, dm, m, kg, lít...) trước khi ghi đáp số.

⚠️ Lưu ý hay sai:Hay nhầm lẫn giữa số chục và số đơn vị hoặc quên đổi về cùng đơn vị đo trước khi tính toán.

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a; b). Khi đó

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {u + v} \right)}^\prime } = u' + v';}\\{{{\left( {u - v} \right)}^\prime } = u' - v';}\\{{{\left( {uv} \right)}^\prime } = u'v + uv';}\\{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right);}\end{array}$

$\left( {ku} \right)' = ku'$ (k là hằng số);

$\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\left( {v \ne 0} \right)$.

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u{'_x}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y{'_u}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}$.

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^5} - {x^3} + x - 10$.

Giải:

$y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' $

$= 5{x^4} - 3{x^2} + 1$.

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}$.

b) $y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)$.

c) $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$.

Giải:

a) Với x > 0, ta có:

$y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' $

$= 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}$.

b) Với x > 0, ta có:

$y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)' $

$= 6{x^2}(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}$.

c) Với $x \ne - 1$, ta có:

$y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {({x^2} + x)^8}$.

b) $y = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$.

Giải:

a) $y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' $

$= ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} $

$= 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}$.

b) $y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)' $

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}$.

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2\sin x - 3\cos x$.

b) $y = x\tan x$.

c) $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$.

d) $y = {\cos ^3}3x$.

Giải:

a) $y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' $

$= 2\cos x + 3\sin x$.

b) Với $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k \in \mathbb{Z})$, ta có:

$y = x'.\tan x + x.(\tan x)' $

$= \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}$.

c) $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$.

d) $y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' $

$= - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x $

$= - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x$.

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {3^{2{x^2} - x}}$.

b) $y = {\log _2}({x^2} + 2x + 3)$.

c) $y = x{e^x}$.

Giải:

a) $y' = (2{x^2} - x)'{.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3 $

$= (4x - 1){.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3$.

b) $y' = \frac{{({x^2} + 2x + 3)'}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}$

$= \frac{{2x + 2}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}$.

c) $y' = (x)'{e^x} + x({e^x})'$

$= {e^x} + x{e^x}$.

Giải mục 1 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 1

Video hướng dẫn giải

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3}$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = x^{n} (n \in N^{*})$ .

Phương pháp giải:

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f^{'} (x)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y^{'} = f^{'} (x)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Với $x_{0}$ bất kì, ta có:

$f^{'} (x_{0}) = lim x \to x_{0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim x \to x_{0} \frac{x^{3} - x_{0}^{3}}{x - x_{0}}$

$= lim x \to x_{0} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + x_{0}^{2})}{x - x_{0}}$

$= lim x \to x_{0} (x^{2} + x x_{0} + x_{0}^{2}) = 3 x_{0}^{2}$ .

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

b) .

HĐ 2

Video hướng dẫn giải

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm x > 0.

Phương pháp giải:

Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là .

Lời giải chi tiết:

Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

Giải mục 2 trang 89, 90 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 3

Video hướng dẫn giải

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì.

b) So sánh: và

Phương pháp giải:

+) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn .

+) .

Lời giải chi tiết:

a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

Do đó = .

LT 1

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc ; ; .

- Sử dụng công thức ; .

Lời giải chi tiết:

Giải mục 3 trang 90, 91 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 4

Video hướng dẫn giải

Cho các hàm số $y = u^{2}$ và .

a) Viết công thức của hàm hợp theo biến x.

b) Tính và so sánh: và .

Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc .

- Sử dụng công thức .

Lời giải chi tiết:

a) .

b) , , .

Vậy = .

LT 2

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Phương pháp giải:

Đạo hàm của hàm số hợp: .

Lời giải chi tiết:

Giải mục 4 trang 91, 92 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 5

Video hướng dẫn giải

a) Với $h \neq 0,$ biến đổi hiệu $\sin (x + h) - \sin x$ thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

- Công thức lượng giác $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} . \sin \frac{a - b}{2}$ .

- $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos \frac{2 x + h}{2} . \sin \frac{h}{2}$

b) Với $x_{0}$ bất kì, ta có:

$f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin x - \sin x_{0}}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{2 \cos \frac{x + x_{0}}{2} . \sin \frac{x - x_{0}}{2}}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin \frac{x - x_{0}}{2}}{\frac{x - x_{0}}{2}} . lim_{x \to x_{0}} \cos \frac{x + x_{0}}{2}$

$= \cos x_{0}$ .

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số $y^{'} = \cos x$ .

LT 3

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (\frac{π}{3} - 3 x)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(\sin u)}^{'} = u^{'} . \cos u$ .

Lời giải chi tiết:

$y^{'} = {(\frac{π}{3} - 3 x)}^{,} \cos (\frac{π}{3} - 3 x)$

$= - 3 \cos (\frac{π}{3} - 3 x)$ .

HĐ 6

Video hướng dẫn giải

Bằng cách viết $y = \cos x = \sin (\frac{π}{2} - x)$ , tính đạo hàm của hàm số $y = \cos x$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(\sin u)}^{'} = u^{'} . \cos u$ .

Lời giải chi tiết:

$y^{'} = {(\cos x)}^{'} = {(\frac{π}{2} - x)}^{'} \cos (\frac{π}{2} - x)$

$= - \cos (\frac{π}{2} - x) = - \sin x$ .

LT 4

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(\cos u)}^{'} = - u^{'} . \sin u$ .

Lời giải chi tiết:

$y^{'} = - 2 {(\frac{π}{4} - 2 x)}^{'} \sin (\frac{π}{4} - 2 x)$

$= 4 \sin (\frac{π}{4} - 2 x)$ .

HĐ 7

Video hướng dẫn giải

a) Bằng cách viết $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z)$ , tính đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ .

b) Sử dụng đẳng thức $\cot x = \tan (\frac{π}{2} - x)$ với $x \neq k π (k \in Z),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \cot x$ .

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức ${(\sin x)}^{'} = \cos x, {(\cos x)}^{'} = - \sin x$ .

- Sử dụng quy tắc ${(\frac{u}{v})}^{,} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y^{'} = {(\tan x)}^{'} = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{,}$

$= \frac{{(\sin x)}^{'} . \cos x - \sin x . {(\cos x)}^{'}}{\cos^{2} x}$

$= \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

b) ${(\cot x)}^{'} = {[\tan (\frac{π}{2} - x)]}^{,}$

$= \frac{- 1}{\cos^{2} (\frac{π}{2} - x)}$

$= - \frac{1}{\sin^{2} x}$ (dựa vào ý a).

LT 5

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \tan^{2} x + 3 \cot (\frac{π}{3} - 2 x)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$ ; ${(\cot u)}^{'} = - \frac{u^{'}}{\sin^{2} u}$ .

Lời giải chi tiết:

$y^{'} = 2 {(\tan^{2} x)}^{'} + 3 {[\cot (\frac{π}{3} - 2 x)]}^{'}$

$= 2.2 \tan x . {(\tan x)}^{'} + 3. \frac{- {(\frac{π}{3} - 2 x)}^{'}}{\sin^{2} (\frac{π}{3} - 2 x)}$

$= 4 \tan x . \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{6}{\sin^{2} (\frac{π}{3} - 2 x)}$ .

VD 1

Video hướng dẫn giải

Một vật chuyển động có phương trình $s (t) = 4 \cos (2 π t - \frac{π}{8})$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

- Ý nghĩa vật lí: $v = s^{'}$ (đạo hàm của quãng đường là vận tốc).

- Công thức ${(\cos u)}^{'} = - u^{'} . \sin u$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$v (t) = s^{'} (t) = 4 {[\cos (2 π t - \frac{π}{8})]}^{'}$

$= - 4 {(2 π t - \frac{π}{8})}^{'} . \sin (2 π t - \frac{π}{8})$

$= - 8 π \sin (2 π t - \frac{π}{8})$ .

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v (5) = - 8 π \sin (10 π - \frac{π}{8}) \approx 9, 6$ (m/s).

Giải mục 5 trang 92, 93, 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 8

Video hướng dẫn giải

a) Sử dụng phép đổi biến $t = \frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $lim x \to 0 {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ , tính lny và tìm giới hạn của $lim x \to 0 ln y$ .

c) Đặt $t = e^{x} - 1$ . Tính x theo t và tìm giới hạn $lim x \to 0 \frac{e^{x} - 1}{x}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa số e (SGK Toán 11 tập 2 trang 13, bộ sách KNTT): $e = lim x \to + \infty {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $t = \frac{1}{x}$ nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng, do đó:

$lim x \to 0 {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = lim t \to + \infty {(1 + \frac{1}{t})}^{t} = e$ .

b) $ln y = ln {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} ln (1 + x)$ .

$lim x \to 0 ln y = lim x \to 0 \frac{ln (1 + x)}{x} = 1$ .

c) $t = e^{x} - 1 \Leftrightarrow e^{x} = t + 1 \Leftrightarrow x = ln (t + 1)$ .

$lim x \to 0 \frac{e^{x} - 1}{x} = lim t \to 0 \frac{t}{ln (t + 1)} = 1$ .

HĐ 9

Video hướng dẫn giải

a) Sử dụng giới hạn $lim h \to 0 \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$ và đẳng thức $e^{x + h} - e^{x} = e^{x} (e^{h} - 1)$ , tính đạo hàm của hàm số $y = e^{x}$ tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $a^{x} = e^{x ln a}$ $(0 < a \neq 1)$ , hãy tính đạo hàm của hàm số $y = a^{x}$ .

Phương pháp giải:

- $f^{'} (x_{0}) = lim x \to x_{0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $lim x \to x_{0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

- $lim h \to 0 \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$ .

Lời giải chi tiết:

a) Với x bất kì và $h = x - x_{0}$ , ta có:

$f^{'} (x_{0}) = lim h \to 0 \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = lim h \to 0 \frac{e^{x_{0} + h} - e^{x_{0}}}{h}$

$= lim h \to 0 \frac{e^{x_{o}} (e^{h} - 1)}{h} = lim h \to 0 e^{x_{0}} . lim h \to 0 \frac{e^{h} - 1}{h} = e^{x_{0}}$ .

Vậy hàm số $y = e^{x}$ có đạo hàm là hàm số $y^{'} = e^{x}$ .

b) Ta có $a^{x} = e^{x ln a}$ nên ${(a^{x})}^{'} = {(e^{x ln a})}^{'}$

$= {(x ln a)}^{'} . e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a$ .

LT 6

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2} - x}$ ;

b) $y = 3^{sin x}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(e^{u})}^{'} = e^{u} . u^{'}$ , ${(a^{u})}^{'} = a^{u} . u^{'} . ln a$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y^{'} = e^{x^{2} - x} . {(x^{2} - x)}^{'} = (2 x - 1) e^{x^{2} - x}$ .

b) $y^{'} = 3^{sin x} . {(sin x)}^{'} . ln 3 = 3^{sin x} . cos x . ln 3$ .

HĐ 10

Video hướng dẫn giải

a) Sử dụng giới hạn $lim t \to 0 \frac{ln (1 + t)}{t} = 1$ và đẳng thức $ln (x + h) - ln x = ln (\frac{x + h}{x}) = ln (1 + \frac{h}{x})$ , tính đạo hàm của hàm số $y = ln x$ tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức ${log}_{a} x = \frac{ln x}{ln a}$ $(0 < a \neq 1)$ , hãy tính đạo hàm của hàm số $y = {log}_{a} x$ .

Phương pháp giải:

- $f^{'} (x_{0}) = lim x \to x_{0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $lim x \to x_{0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

- .

Lời giải chi tiết:

a) Với x > 0 bất kì và ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

b) Ta có nên .

LT 7

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của hàm số .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức .

Lời giải chi tiết:

Vì nên hàm số xác định trên .

Ta có .

VD 2

Video hướng dẫn giải

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi ở đó là nồng độ (mol/l) của hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức .

Lời giải chi tiết:

Ta có nên .

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ là .

Bài 9.6 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng quy tắc .

- Sử dụng công thức , .

Lời giải chi tiết

a) .

Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$;

b) $y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng quy tắc $\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$.

- Sử dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$.

Lời giải chi tiết

a) $y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

b) $y = \frac{{\left( {2x} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} $

$= \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$.

Bài 9.8 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x \sin^{2} x$ ;

b) $y = \cos^{2} x + \sin 2 x$ ;

c) $y = \sin 3 x - 3 \sin x$ ;

d) $y = \tan x + \cot x$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng quy tắc ${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ ;

${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

- Sử dụng công thức:

${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ ;

${(\sin u)}^{'} = u^{'} . \cos u$ ;

${(\cos x)}^{'} = - \sin x$

${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$ ;

${(\cot x)}^{'} = \frac{- 1}{\sin^{2} x}$ .

Lời giải chi tiết

a) $y^{'} = x^{'} \sin^{2} x + x {(\sin^{2} x)}^{'}$

$= \sin^{2} x + x .2 \sin x . {(\sin x)}^{'}$

$= \sin^{2} x + x .2 \sin x . \cos x$

$= \sin^{2} x + x \sin 2 x$ .

b) $y^{'} = {(\cos^{2} x)}^{'} + {(\sin 2 x)}^{'}$

$= 2 \cos x . {(\cos x)}^{'} + {(2 x)}^{'} \cos 2 x$

$= - 2 \cos x . \sin x + 2 \cos 2 x$

$= - \sin 2 x + 2 \cos 2 x$ .

c) $y^{'} = {(\sin 3 x)}^{'} - {(3 \sin x)}^{'}$

$= 3. \cos 3 x - 3 \cos x$ .

d) $y^{'} = {(\tan x)}^{'} + {(\cot x)}^{'}$

$= \frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}$ .

Bài 9.9 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2^{3 x - x^{2}}$ ;

b) $y = {log}_{3} (4 x + 1)$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức ; .

Lời giải chi tiết

b) .

Bài 9.10 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)$. Chứng minh rằng $\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 6$ với mọi x.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$; $\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right) = 4\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\left[ {\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]' $

$= 4\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)'\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)$

$= 12\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) $

$= 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right)$.

Vì $ - 1 \le \sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 1$

$\Leftrightarrow - 6 \le 6\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \le 6 $

$\Leftrightarrow - 6 \le f'\left( x \right) \le 6$.

Vậy $\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 6$ với mọi x.

Bài 9.11 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình ở độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức .

Lời giải chi tiết

Ta có .

a) .

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là 49 m/s.

b) Khi vật chạm đất .

Vậy vận tốc của vật khi vật chạm đất là m/s.

Bài 9.12 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s\left( t \right) = 12 + 0,5\sin \left( {4\pi t} \right)$, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Ý nghĩa vật lí: $v = s'$.

- Sử dụng công thức: $\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u$.

Lời giải chi tiết

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 0,5.\left( {4\pi t} \right)'\cos \left( {4\pi t} \right) = 2\pi \cos \left( {4\pi t} \right)$.

Vì $ - 1 \le \cos \left( {4\pi t} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2\pi \le 2\pi \cos \left( {4\pi t} \right) \le 2\pi $

$\Leftrightarrow - 2\pi \le v\left( t \right) \le 2\pi $.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là $2\pi $ cm/s.

📢Thấy lời giải hay & dễ hiểu? Chia sẻ cùng các bạn trong lớp nhé:

🧰

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 11

Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7

Xem tất cả 14 công cụ→

📐

Sổ tay Công thức Toán - Lý - HóaCấp 2 & 3

Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.

⚡

Máy giải phương trình từng bướcTừng bước

Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.

📏

Máy tính Hình học 2D & 3DCông thức & Tính

Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.

🔢

Bảng cửu chương & Tính nhanhLuyện tính nhanh

Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.

✨

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng

👍98.6% học sinh thấy dễ hiểu

Lời giải bài Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?

⭐

Thử thách nhận 10 Sao

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Trắc nghiệm củng cố: Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức

+10 Sao thưởng ⭐

Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!

1Câu hỏi 1

Cho hàm số

y = x^4 - 2x^2 + 3

. Đạo hàm của hàm số là:

2Câu hỏi 2

Cho hai hàm số

u = u(x)

và

v = v(x)

có đạo hàm tại điểm

x

thuộc khoảng xác định và

v(x) eq 0

. Công thức đạo hàm của thương

\left(\frac{u}{v}ight)'

là:

3Câu hỏi 3

Đạo hàm của hàm số

y = (2x - 1)(x + 3)

là:

4Câu hỏi 4

Đạo hàm của hàm số

y = \sin x

là:

5Câu hỏi 5

Cho hàm số

y = \cos x

. Đạo hàm của hàm số này là:

Đã chọn: 0/5 câu

Bài học cùng chuyên đề: Chương IX. Đạo hàm

3 bài học

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Bài 33. Đạo hàm cấp hai Toán 11 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Bài tập cuối chương IX Toán 11 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Luyện tập có chấm điểm

Trắc nghiệm củng cố: Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức

Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.

Vào làm bài ngay→

Ngân hàng đề thi

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 11

Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.

Xem tất cả đề thi→

💡Góc tra cứu bỏ túi:

📐Sổ tay công thức Toán - Lý - Hóa ⚛️Bảng tuần hoàn Hóa học 📖Động từ bất quy tắc

📘Chuyên đề Ôn thi SGK Kết Nối Tri Thức

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 11 Lớp LOP11

Sau khi học xong "Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!

📚Xem Đề Thi Lớp 11 📱Tải App Luyện Đề

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi