Bài tập cuối chương IX Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 9.18 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Với u, v là các hàm số hợp theo biến x, quy tắc đạo hàm nào sau đây là đúng?

A. .                                        

B. .

C. .                                                  

D. .

Lời giải chi tiết

Đáp án B.

Bài 9.19 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + {\sin ^3}x\). Khi đó \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng

A. \(\pi \).                                

B. \(2\pi \).                    

C. \(\pi  + 3\).                

D. \(\pi  - 3\).

Lời giải chi tiết

\(f(x) = {x^2} + {\sin ^3}x\).

\(f'(x) = 2x + 3{\sin ^2}x.(\sin )' = 2x + 3{\sin ^2}x.\cos x\).

\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\frac{\pi }{2} + 3{\sin ^2}\frac{\pi }{2}.\cos \frac{\pi }{2} = \pi \).

Đáp án A.

Bài 9.20 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + 1\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) \le 0\) là

A. \([1; 3]\).                      

B. \([ - 1;3]\).                          

C. \([ - 3;1]\).                 

D. \([ - 3; - 1]\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'(x) = {x^2} - 2x - 3\).

\(f'(x) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3\).

Đáp án B

Bài 9.21 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số với , . Khi đó bằng

A. 1.                    

B. 6.                             

C. 3.                             

D. -3.

Lời giải chi tiết

Ta có .

Nên .

Đáp án C

Bài 9.22 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{ - 2x}}\). Tập nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) là

A. \(\{ 0;1\} \).                        

B. \(\{  - 1;0\} \).

C. \(\{ 0\} \).                            

D. \(\{ 1\} \).

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'(x) = 2x{e^{ - 2x}} - 2{x^2}{e^{ - 2x}}\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x{e^{ - 2x}} - 2{x^2}{e^{ - 2x}} = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x{e^{ - 2x}}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Đáp án A

Bài 9.23 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chuyển động của một vật có phương trình , ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0 , giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. .                                                

B. .

C. .                                                

D. .

Lời giải chi tiết

Ta có: ;

.

Khi vận tốc bằng 0:

,

.

Thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật là:

.

Đáp án C.

Bài 9.24 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+4x-1$ có đồ thị là . Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị là

A. 1 .                   

B. 2.                    

C. -1 .                            

D. 3 .

Lời giải chi tiết

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị là

.

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị là 1.

Đáp án A

Bài 9.25 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^5}\);

b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\);

c) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\);                                                       

d) \(y = \log (x + \sqrt x )\).

Lời giải chi tiết

a) \(y' = 5{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^4}{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)'} \)

\(= 5{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^4}.\frac{{2\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(= 5{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^4}.\frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{25{{\left( {2x - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^6}}}\).

b) \(y' = \frac{{\left( {2x} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \)

\(= \frac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

c) \(y' = \left( {{e^x}} \right)'{\sin ^2}x + {e^x}\left( {{{\sin }^2}x} \right)' \)

\(= {e^x}{\sin ^2}x + {e^x}.2\sin x.\cos x \)

\(= {e^x}{\sin ^2}x + {e^x}\sin 2x\).

d) \(y' = {\left[ {\log \left( {x + \sqrt x } \right)} \right]'} = \frac{{\left( {x + \sqrt x } \right)'}}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}} \)

\(= \frac{{1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}} = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x \left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}}\).

Bài 9.26 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét hàm số luỹ thừa với là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết , tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số luỹ thừa với là số thực có tập xác định khác nhau, tùy theo :

- Nếu nguyên dương thì tập xác định là .

- Nếu nguyên âm hoặc thì tập xác định là .

- Nếu không nguyên thì tập xác định là .

b)

.

Bài 9.27 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số . Đặt . Tính .

Lời giải chi tiết

Ta có .

Do đó , .

Vậy

.

Bài 9.28 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số . Tính .

Lời giải chi tiết

.

.

.

Bài 9.29 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f(x)\) thoả mãn \(f(1) = 2\) và \(f'(x) = {x^2}f(x)\) với mọi \(x\). Tính \(f''(1)\).

Lời giải chi tiết

\(f''(x) = \left[ {{x^2}f(x)} \right]'\)

\( = ({x^2})'f(x) + {x^2}f'(x)\)

\( = 2xf(x) + {x^2}f'(x)\).

Theo đề bài: \(f(1) = 2\).

Ta có: \(f'(1) = {1^2}.f(1) = 1.2 = 2\).

Vậy \(f''(1) = 2.1.f(1) + {1^2}.f'(1)\)

\( = 2.1.2 + {1^2}.2 = 6\).

Bài 9.30 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\)

\(\Rightarrow y'\left( 1 \right) =3{1^2} + 6.1= 9\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = {1^3} + 3.{1^2} - 1= 3\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 3 = 9\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 9x - 6\).

Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{a}{x}\) (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{x^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y - \frac{a}{{{x_0}}} = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right)\) hay \(y = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}x + \frac{{2a}}{{{x_0}}}\).

Gọi phương trình tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lượt tại \(A\), \(B \Rightarrow A\left( {0;\frac{{2a}}{{{x_0}}}} \right)\), \(B\left( {2{x_0};0} \right)\).

Do đó diện tích tam OAB bằng \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2a}}{{{x_0}}}.2{x_0}} \right| = 2a\) (là một hằng số).

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Bài 9.32 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Lời giải chi tiết

Hàm số c luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm, do đó hàm số b là đạo hàm của hàm số c; hàm số b đồng biến trên khoảng mà hàm số a dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số a âm, do đó hàm số a là đạo hàm của hàm số b.

Vậy hàm số a là hàm gia tốc, hàm số b là hàm vận tốc và hàm số c là hàm vị trí của ô tô.

Bài 9.33 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là:

(m/s).

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là:

(m/s).

b) Khi vật đứng yên ta có:

.

c) Ta có .

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là .

d) Ta có khi t = 1 hoặc t = 3 thì vật đứng yên.

Do đó ta cần tính riêng rẽ quãng đường vật đi được trong từng khoảng thời gian , , .

Từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 1 giây, vật đi được quãng đường là:

(m).

Từ thời điểm t = 1 giây đến thời điểm t = 3 giây, vật đi được quãng đường là:

(m).

Từ thời điểm t = 3 giây đến thời điểm t = 5 giây, vật đi được quãng đường là:

(m).

Tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là 4 + 4 + 20 = 28 (m).

e) Xét .

Với thì gia tốc âm, tức là vật giảm tốc.

Với thì gia tốc dương, tức là vật tăng tốc.