Bài 33. Đạo hàm cấp hai Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

\(f''\left( x \right) = \left( {f'\left( x \right)} \right)'\).

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:

\(a\left( t \right) = f''\left( t \right)\).

Giải mục 1 trang 95 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 9.13 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^x}\). Tính \(f''\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x{e^x} + {x^2}{e^x} \)

\(\Rightarrow f''\left( x \right) = 2\left( {{e^x} + x{e^x}} \right) + 2x{e^x} + {x^2}{e^x} \)

\(= 2{e^x} + 4x{e^x} + {x^2}{e^x}\).

Vậy \(f''\left( 0 \right) = 2\).

Bài 9.14 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=\ln \left(x+1\right)$;

b) $y=\tan 2x$.

Lời giải chi tiết

a) $y^{\prime }=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}$.

b) $y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{-2.{\left({\cos }^{2}2x\right)}^{,}}{{\cos }^{4}2x}$

$=\frac{-2.2\cos 2x.{\left(\cos 2x\right)}^{,}}{{\cos }^{4}2x}$

$=\frac{4.2\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$

$=\frac{8\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$.

Bài 9.15 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số (a, b là hằng số). Tìm a, b biết và .

Lời giải chi tiết

Ta có

.

Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]'} \)

\(= 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow f''\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

Mặt khác \( - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 4 \le f''\left( x \right) \le 4\).

Vậy \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.

Bài 9.17 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi , trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

Vận tốc tại thời điểm t là

.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

.

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:

(cm/s²).