Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Kết nối tri thức

1. Phương trình tích

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích \(\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0\), ta giải hai phương trình \(ax + b = 0\) và \(cx + d = 0\). Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ: Giải phương trình \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)

nên \(2x + 1 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\).

\(2x + 1 = 0\) hay \(2x =  - 1\), suy ra \(x =  - \frac{1}{2}\).

\(3x - 1 = 0\) hay \(3x = 1\), suy ra \(x = \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - \frac{1}{2}\) và \(x = \frac{1}{3}\).

Các bước giải phương trình:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích \(\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0\). Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - x =  - 2x + 2\).

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\(\begin{array}{l}{x^2} - x =  - 2x + 2\\{x^2} - x + 2x - 2 = 0\\x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0.\end{array}\)

Ta giải hai phương trình sau:

\(x + 2 = 0\) suy ra \(x =  - 2\).

\(x - 1 = 0\) suy ra \(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - 2\) và \(x = 1\).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ:

- Phương trình \(\frac{{5x + 2}}{{x - 1}} = 0\) có điều kiện xác định là \(x \ne 1\) vì \(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1\).

- Phương trình \(\frac{1}{{x + 1}} = 1 + \frac{1}{{x - 2}}\) có điều kiện xác định là \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 2\) vì \(x + 1 \ne 0\) khi \(x \ne  - 1\), \(x - 2 \ne 0\) khi \(x \ne 2\).

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Lời giải:

Điều kiện xác định \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 2\).

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được \(\frac{{2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\), suy ra \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\).

Giải phương trình \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\):

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\\2x - 4 + x + 1 = 3\\3x - 3 = 3\\3x = 6\\x = 2\end{array}\)

Giá trị \(x = 2\) không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình \(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) vô nghiệm.

Giải mục 1 trang 27, 28 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 28, 29 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 2.1 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $x\left(x-2\right)=0;$

b) $\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)=0.$

Lời giải chi tiết

a)

Vậy

b)

Vậy

Giải bài tập 2.2 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a)

b)

Lời giải chi tiết

a)

Vậy

b)

Vậy

Giải bài tập 2.3 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a)

b)

Lời giải chi tiết

a)

ĐKXĐ:

Quy đồng mẫu thức ta được:

Khử mẫu ta được:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

b)

ĐKXĐ:

Quy đồng mẫu thức ta được:

Khử mẫu ta được:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Giải bài tập 2.4 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14m và chiều rộng 12m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là $100m^2.$ Hỏi x bằng bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

ĐK: $0<x<12$

Ta có phần đất làm nhà có kích thước như sau:

- Một cạnh là: $12-x$ (m)

- Cạnh còn lại là: $14-(x+2)=12-x$ (m)

Vì diện tích đất làm nhà là nên ta có phương trình:

(thỏa mãn) hoặc (không thỏa mãn)

Vậy .

Giải bài tập 2.5 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, ).

a) Hãy biểu thị theo x:

- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;

- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Lời giải chi tiết

a)

- Một giờ người thứ nhất làm được số công việc là (công việc)

- Hai người làm công việc 8 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được số công việc là (công việc)

Nên một giờ người thứ hai làm được (công việc)

b) Hai người cùng làm trong 4 giờ thì làm được (công việc)

Người thứ hai làm tiếp tục một mình trong 12h làm được (công việc) thì xong công việc nên ta có phương trình:

hay suy ra nên

Với thì một giờ người thứ hai làm được (công việc)

Do đó thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai nếu làm một mình là (giờ)

Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 12 h.

Người thứ hai hoàn thành công việc trong 24 h.