Bài 5. Dãy số Toán 11 kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 42 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Phương pháp giải:

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 0, 1, 4, 9, 16.

Công thức tính số chính phương là $n^2$, $n\in N$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng $u_n$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Phương pháp giải:

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Công thức số hạng $u_n$ dựa theo điều kiện số chính phương.

Lời giải chi tiết:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Công thức số hạng tổng quát $u_n=n^2$, $n\in N$, $n\le 7$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất chia 5 dư 1 xác định số hạng tổng quát.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,\dots ,u_m$.

Số $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có số hạng tổng quát của dãy số $u_n=5n-4\left(n\in N^{\ast }\right)$.

b) Các số hạng của dãy số là: 1; 6; 11; 16; 21.

Số hạng đầu của dãy số là 1 và số hạng cuối của dãy số là 21.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn:

a) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa dãy số, xác định được số hạng đầu và số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

a) Công thức số hạng tổng quát , .

b) Số hạng đầu , .

Suy ra hệ thức truy hồi: .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 44 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số với số hạng tổng quát .

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi

.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức giai thừa bằng tích các số liên tiếp.

Công thức Fibonacci đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) 5 số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 6; 24; 120.

b) ; ; ; ; .

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Xét dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=3n-1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_n$.

b) Xét dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n=\frac{1}{n^2}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_n$.

Phương pháp giải:

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$, với mọi $n\in N^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$, với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $u_{n+1}=3\left(n+1\right)-1=3n+2$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n$.

b) Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$.

Suy ra: $u_{n+1}<u_n$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_n\right)$, với $u_n=\frac{1}{n+1}$.

Phương pháp giải:

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$, với mọi $n\in N^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$, với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{1}{n+1+1}=\frac{1}{n+2}$.

Mà $\left(n+2\right)>\left(n+1\right)$ suy ra $\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}$.

Tức là $u_{n+1}<u_n,\forall n\in N^{\ast }$.

Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

HĐ5

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n+1}{n},\forall n\in N^{\ast }$.

a) So sánh $u_n$ và 1.

b) So sánh $u_n$ và 2.

Phương pháp giải:

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho $u_n\le M,n\in N^{\ast }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho $u_n\ge m,n\in N^{\ast }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,n\in N^{\ast }$.

Lời giải chi tiết:

a) $u_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}>1$.

b) $u_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}<2$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 22 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$, với $u_n=2n-1$.

Phương pháp giải:

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho $u_n\le M,n\in N^{\ast }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho $u_n\ge m,n\in N^{\ast }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,n\in N^{\ast }$.

Lời giải chi tiết:

Dãy số $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $2n-1<M,\forall n\in N^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới, vì $\left(u_n\right)=2n-1\ge 1,n\in N^{\ast }$.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 46 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

$s_1=200$, $s_n=s_{n-1}+25$ với $n\ge 2$.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $\left(s_n\right)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Phương pháp giải:

a) Tìm số hạng tổng quát.

b) Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$, với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải chi tiết:

a) Số hạng tổng quát: $s_n=200+25(n-1)$.     

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là:

$s_5=200+25(5-1)=300$ (triệu đồng).

b) Ta có: $s_{n+1}=200+25(n+1-1)=200+25n$.

$s_{n+1}-s_n=200+25n-\left[200+25(n-1)\right]=25>0$

$\Rightarrow s_{n+1}>s_n$.

$\Rightarrow$ $\left(s_n\right)$ là dãy số tăng.

Vậy $\left(s_n\right)$ là dãy số tăng.

Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.