Bài tập cuối chương 2 Toán 11 kết nối tri thức

Bài 2.22 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Lời giải chi tiết

+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu u₁ vì u₁ < u₂ < u₃ < ...., do đó đáp án A đúng.

+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu u₁ vì u₁ > u₂ > u₃ > ...., do đó đáp án B đúng.

+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy tăng hay dãy giảm. Ví dụ điển hình là dãy số đan dấu , dãy này bị chặn bởi -1 và 1 nhưng không tăng cũng không giảm.

Vậy đáp án C sai.

+) Đáp án D đúng do dãy số (u_n) không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại m, M để m ≤ u_n ≤ M với mọi .

Ta chọn đáp án C.

Bài 2.23 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dãy số (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó).

Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

A.                  

B.                  

C.                  

D.

Lời giải chi tiết

Ta có: , .

Suy ra công thức tổng quát của dãy số .

Chọn đáp án D.

Bài 2.24 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dãy số với . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số là cấp số cộng với công sai .

B. Dãy số là cấp số cộng với công sai .

C. Dãy số là cấp số nhân với công bội .

D. Dãy số là cấp số nhân với công bội .

Lời giải chi tiết

Ta có:

, .

Vì d = 3 là hằng số nên dãy số là cấp số cộng với công sai .

Ta có:

không phải hằng số (thay đổi dựa vào n).

Vậy dãy số  không phải cấp số nhân.

Chọn đáp án A.

Bài 2.25 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

A. Ta có: phụ thuộc vào n nên ( thay đổi, do đó không phải cấp số nhân.

B. Ta có: , do đó là cấp số nhân với công bội .

C. Ta có: , do đó là cấp số cộng với  .

D. Ta có: , do đó là cấp số cộng với .

Vậy ta chọn đáp án B.

Bài 2.26 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tổng 100 số hạng đầu của dãy số với là

A. 199                        

B.                   

C. 10 000                   

D. 9 999

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Vậy dãy số là cấp số cộng với , .

.

Chọn đáp án C.

Bài 2.27 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.

Lời giải chi tiết

Ta có: .

, do đó là cấp số cộng với .

Tổng số tiếng chuông trong khoảng từ 0 đến 12 giờ trưa là:

.

Bài 2.28 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải chi tiết

Sau 1 giờ, tế bào phân chia 3 lần. Sau 24 giờ, tế bào phân chia 24.3 = 72 lần.

Số tế bào phân chia sau mỗi 20 phút tạo thành cấp số nhân:

Ban đầu, số tế bào là .

Sau 1 lần phân chia, số tế bào là .

...

Sau 72 lần phân chia, số tế bào là .

Vậy tế bào ban đầu phân chia thành:

(tế bào).

Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là với .

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là với .

Lời giải chi tiết

a) Ta có

.

Do đó:

.

Suy ra (đpcm).

b) Ta có:

.

Do đó

(đpcm).

Bài 2.30 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: , , .

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

.

Mà  , suy ra:

(*)

Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào ba số ta được:

;

;

.

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

.

Thay các kết quả d vừa tìm được vào hệ (*), được ba số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.

Bài 2.31 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Lời giải chi tiết

a) Mỗi bậc thang cao 16 cm = 0,16 m.

Do đó, n bậc thang cao 0,16n (m).

Vì mặt sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân là:

(m).

b) Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân tương ứng với n = 25 là:

(m).

Bài 2.32 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là $\frac{1}{9}$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là .

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ hai là , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là .

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ ba là , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là .

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ tư là , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là .

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ năm là , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là .

Tổng diện tích các ô vuông màu xanh là:

.