Bài 6. Cấp số cộng Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

, .

* Nhận xét: Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

.

Để chứng minh là một cấp số cộng, hãy chứng minnh hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi.

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức:

.

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng với công sai d. Đặt . Khi đó:

.

Giải câu hỏi mở đầu trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.

Lời giải chi tiết

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu và công sai . Tổng các số hạng này là:

.

Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1 000 ghế.

Giải mục 1 trang 48, 49 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 2.8 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19,...;                                 

b) 1, -1, -3, -5,...

Lời giải chi tiết

a) Cấp số cộng có: \({u_1} = 4\), công sai \(d = 9 - 4 = 5\).

Số hạng tổng quát của dãy số là:

\({u_n} = 4 + 5\left( {n - 1} \right) = 5n- 1\).

Số hạng thứ 5: \({u_5} = 5.5- 1 = 24\).

Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = 5.100- 1 = 499\).

b) Cấp số cộng có: \({u_1} = 1\), công sai \(d = - 1 - 1 =  - 2\).

Số hạng tổng quát của dãy số là:

\({u_n} = 1 + \left( { - 2} \right)\left( {n - 1} \right) = -2n+3\).

Số hạng thứ 5: \({u_5} = (-2).5+3 =  - 7\).

Số hạng thứ 100: \({u_{100}} = (-2).100+3 =  - 197\).

Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng

a) ;

b) ;  

c) ;   

d) .

Lời giải chi tiết

a) .

Ta có: .

Vậy dãy số là cấp số cộng với và công sai .

Số hạng tổng quát: .

b) .

Ta có: .

Vậy dãy số là cấp số cộng với và công sai .

Số hạng tổng quát: .

c)

Ta có: không phải hằng số.

Suy ra đây không phải là cấp số cộng.

d)

Ta có: .

Vậy dãy số là cấp số cộng với và công sai .

Số hạng tổng quát: .

Bài 2.10 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Lời giải chi tiết

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$.

Ta có:

$\{\begin{array}{c}{u}_5=u_1+4d=18\\ u_{12}=u_1+11d=32\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=10\\ d=2\end{array}$

.

Số hạng thứ 50: .

Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cấp số cộng cố số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?

Lời giải chi tiết

 

Vậy phải lấy tổng 50 số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700.

Bài 2.12 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Lời giải chi tiết

Ta có: , .

Giá của chiếc xe sau 1 năm là: .

Giá của chiếc xe sau 2 năm là: .

...

Giá của chiếc xe sau n năm là: .

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: (triệu đồng).

Bài 2.13 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải chi tiết

Gọi là cấp số cộng với các số hạng là số ghế ở một hàng .

Ta có: , .

.

Vậy cần phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Bài 2.14 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Lời giải chi tiết

Đổi 1,2 triệu người = 1200 nghìn người.

Năm 2020, dân số của thành phố là khoảng  nghìn người.

Năm 2021, dân số của thành phố là khoảng nghìn người.

...

Năm 2030, dân số của thành phố là khoảng nghìn người.

Ta có: , .

Dân số sau n năm là: .

Vậy dân số của năm 2030 tức là:

(nghìn người) hay 1,5 triệu người.