Bài 7. Cấp số nhân Toán 11 kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 52 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với .

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa và .

Phương pháp giải:

Thay n tương ứng vào công thức số hạng tổng quát .

Xét tỷ số để tìm mối liên hệ giữa và .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ; ; ; ; .

b) Hệ thức truy hồi liên hệ giữa và là: .

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 1 trang 52 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Dãy số không đổi a, a, a,... có phải là một cấp số nhân không?

Phương pháp giải:

Để chứng minh dãy số gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỷ số = q không đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy tỉ số của các số hạng là .

Như vậy, dãy số không đổi a, a, a,... là một cấp số nhân.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số với . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Phương pháp giải:

Để chứng minh dãy số gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số = q không đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta có: , .

Vậy dãy số là một cấp số nhân với và công bội .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$

a) Tính các số hạng $u_2,u_3,u_4,u_5$ theo $u_1$ và $q$.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo $u_1$ và $q$.

Phương pháp giải:

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n=u_1.q^{n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Lời giải chi tiết:

a) $u_2=u_1.q$;

$u_3=u_2.q=u_1.q^2$;

$u_4=u_3.q=u_1.q^3$;

$u_5=u_4.q=u_1.q^4$.

b) Từ a suy ra: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài xác định được $u_1$ và q, suy ra công thức số hạng tổng quát $u_n$.

Lời giải chi tiết:

Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với $u_1=5000$, $q=1,08$.

Số vi khuẩn ban đầu là $u_1=5000$.

Số vi khuẩn sau 1 giờ là $u_2$.

Số vi khuẩn sau 2 giờ là $u_3$.

...

Suy ra số vi khuẩn sau 5 giờ là $u_6$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n=5000.1,{08}^{n-1}$.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là: $u_6=5000.1,{08}^{6-1}=7346,64$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 54 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=a$ và công bội $q\ne 1$.

Để tính tổng của n số hạng đầu $S_n=u_1+u_2+\dots +u_{n-1}+u_n$.

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_1$ và q để được biểu thức tính tổng $S_n$ chỉ chứa $u_1$ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q.S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $\left(1-q\right)S_n$ theo $u_1$ và $q$. Từ đó suy ra công thức tính $S_n$.

Phương pháp giải:

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng $S_n$.

Lời giải chi tiết:

a) $u_2=u_1.q$;

$u_3=u_1.q^2$;

…

$u_{n-1}=u_1.q^{n-2}$;

$u_n=u_1.q^{n-1}$.

$S_n=u_1+u_{1}q+\dots +u_1{q}^{n-2}+u_1{q}^{n-1}$.

b) $q{S}_n=q{u}_1+u_1{q}^2+\dots +u_1{q}^{n-1}+u_1{q}^n$.

c) $S_n-q{S}_n=\left(u_1+u_{1}q+\dots +u_1{q}^{n-2}+u_1{q}^{n-1}\right)$

$-(q{u}_1+u_1{q}^2+\dots +u_1{q}^{n-1}+u_1{q}^n)$

$\iff \left(1-q\right)S_n=u_1-u_1{q}^n=u_1\left(1-q^n\right)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 2 trang 54 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: $u_n=u_1.q^{n-1}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng $S_n$.

Lời giải chi tiết:

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là $u_1,u_1,...,u_1,...$

Khi đó $S_n=u_1+u_1+...+u_1=n.u_1$ (tổng của n số hạng $u_1$).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 55 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài xác định đâu là cấp số cộng, đâu là cấp số nhân.

Từ đó suy ra công thức tổng quát, thay giá trị n để tính được tổng lương và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý tạo thành cấp số cộng với:

$u_1=5.3=15$, công sai $d=0,5.3=1,5$.

Công thức tổng quát $u_n=15+1,5\left(n-1\right)$.

Sau 3 năm làm việc (n = 12), lương của người nông dân là:

$\frac{12}{2}\left[2.15+\left(12-1\right).1,5\right]=279$ (triệu đồng).

Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với:

$u_1=5.3=15$, công bội $q=1,05$.

Công thức tổng quát $u_n=15.1,{05}^{n-1}$.

Sau 3 năm làm việc (n = 12), lương của người nông dân là:

$\frac{15\left(1-1,{05}^{12}\right)}{1-1,05}=238,757$ (triệu đồng).

Vậy thì theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân cao hơn.