HĐ7 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian, cho hai vectơ →a và →b khác →0. Lấy điểm O và vẽ các vectơ −−→OA=→a,−−→OB=→b. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ −−−→O′A′=→a,−−−→O′B′=→b (H.2.21). a) Hãy giải thích vì sao −−→AB=−−−→A′B′. b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao ˆAOB=ˆA′O′B′.

Phương pháp giải: a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì −−→AB+−−→BC=−−→AC. b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, cosˆA=AB2+AC2−BC22.AB.AC. Lời giải chi tiết: a) Ta có: −−→AB=−−→AO+−−→OB; −−−→A′B′=−−−→A′O′+−−−→O′B′. Mà −−→OA=→a, −−→OB=→b, −−−→O′A′=→a, −−−→O′B′=→b ⇒−−→AO=−−−→A′O′; −−→OB=−−−→O′B′. Do đó, −−→AB=−−−→A′B′. b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: cosˆAOB=OA2+OB2−AB22.OA.OB. Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: cosˆA′O′B′=O′A′2+O′B′2−A′B′22.O′A′.O′B′. Vì −−→AB=−−−→A′B′⇒AB=A′B′, −−→AO=−−−→A′O′ ⇒OA=O′A′; −−→OB=−−−→O′B′⇒OB=O′B′. Do đó, cosˆAOB=cosˆA′O′B′⇒ˆAOB=ˆA′O′B′.

[ảnh: https://api.trithuchub.com/public/ public / files / 2026 / 10 / 13 / lessons / images / 1791865844537-397258149.png] Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AD'}$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AB'}$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC}$

Cho số thực $k < 0$ và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Khi đó vectơ $k\vec{a}$:

Ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $-k|\vec{a}|$

Ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $k|\vec{a}|$

Cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $k|\vec{a}|$

Cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $-k|\vec{a}|$

[ảnh: https://api.trithuchub.com/public/ public / files / 2026 / 10 / 13 / lessons / images / 1791865844714-4279756.png] Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ trong không gian. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

$-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \tan(\vec{a}, \vec{b})$

Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ trong không gian. Điều kiện cần và đủ để $A, B, C$ thẳng hàng là tồn tại số thực $k$ sao cho:

$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$

Cho ba điểm $M, N, P$ bất kì trong không gian. Đẳng thức vectơ nào sau đây luôn đúng?

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{NP}$

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MN}$

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{PM}$

Trong không gian, cho các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và số thực $k$. Khẳng định nào sau đây **sai**?

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ với mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

HĐ7 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian, cho hai vectơ →a và →b khác →0. Lấy điểm O và vẽ các vectơ −−→OA=→a,−−→OB=→b. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ −−−→O′A′=→a,−−−→O′B′=→b (H.2.21). a) Hãy giải thích vì sao −−→AB=−−−→A′B′. b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao ˆAOB=ˆA′O′B′.

Phương pháp giải: a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì −−→AB+−−→BC=−−→AC. b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, cosˆA=AB2+AC2−BC22.AB.AC. Lời giải chi tiết: a) Ta có: −−→AB=−−→AO+−−→OB; −−−→A′B′=−−−→A′O′+−−−→O′B′. Mà −−→OA=→a, −−→OB=→b, −−−→O′A′=→a, −−−→O′B′=→b ⇒−−→AO=−−−→A′O′; −−→OB=−−−→O′B′. Do đó, −−→AB=−−−→A′B′. b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: cosˆAOB=OA2+OB2−AB22.OA.OB. Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: cosˆA′O′B′=O′A′2+O′B′2−A′B′22.O′A′.O′B′. Vì −−→AB=−−−→A′B′⇒AB=A′B′, −−→AO=−−−→A′O′ ⇒OA=O′A′; −−→OB=−−−→O′B′⇒OB=O′B′. Do đó, cosˆAOB=cosˆA′O′B′⇒ˆAOB=ˆA′O′B′.

Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức

Q: HĐ1 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây? b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về biểu diễn lực qua đoạn thẳng có hướng: Dùng đoạn thẳng có hướng để biểu diễn lực căng dây. Hướng của đoạn thẳng chỉ hướng của của lực căng dây, độ dài đoạn thẳng thể hiện độ lớn của lực và được lấy tỉ lệ với độ lớn của lực. Lời giải chi tiết: a) Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây. b) Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Q: HĐ3 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ . Lấy điểm A’ khác A và vẽ các vectơ (H.2.10). a) Giải thích vì sao và . b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra .

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Lời giải chi tiết: a) Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và . Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, . Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và . Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, . b) Vì hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

Q: HĐ6 - Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17) a) Hai vectơ −−−→MN và −−−→B′C′ có cùng phương không? Có cùng hướng không? b) Giải thích vì sao ∣∣∣−−−→MN∣∣∣=12∣∣∣−−−→B′C′∣∣∣.

Phương pháp giải: a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ →a được kí hiệu là ∣∣→a∣∣. Lời giải chi tiết: a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC. Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’. Do đó hai vectơ −−−→MN và −−−→B′C′ có cùng phương và cùng hướng. b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC=B′C′ Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN=12BC Suy ra: ∣∣∣−−−→MN∣∣∣=12∣∣∣−−−→B′C′∣∣∣.

Q: Giải câu hỏi mở đầu trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Đề bài Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng? Dựa vào lý thuyết trong bài. Trong không gian, vectơ vẫn là công cụ để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, lực hay các đại lượng khác. Các phép toán trong không gian tương tự như trong mặt phẳng nhưng có một số khác biết như: - Biểu diễn vectơ: Trong không gian mỗi vectơ được biểu diễn bởi một cặp ba giá trị (x; y; z). - Các phép toán vectơ: cơ bản vẫn giống trong mặt phẳng.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 2 trên Tri Thức Hub.

Q: CH - Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về nhận biết vectơ trong không gian để tìm hình ảnh thực tế: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Lời giải chi tiết: Một số ví dụ khác: a) Hướng bay của khinh khí cầu: b) Hướng đi của thuyền trên sông:

Q: LT3 - Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ . Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì . Lời giải chi tiết: Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, . Ta có: . Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên . Vậy .

Q: CH - Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Hai vectơ 1→a và →a có bằng nhau không? Hai vectơ (−1)→a và −→a có bằng nhau không?

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ →a và →b được gọi là bằng nhau, kí hiệu →a=→b nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Lời giải chi tiết: Hai vectơ 1→a và →a bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Hai vectơ (−1)→a và −→a bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Q: CH - Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác →0), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ →a, →b khác →0. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho−−→OA=→a,−−→OB=→b. Khi đó, góc ˆAOB(00≤ˆAOB≤1800) được gọi là góc giữa hai vectơ →a và →b, kí hiệu là (→a,→b). Lời giải chi tiết: Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng 00. Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng 1800.

Cỡ chữ:

Nền:

🃏

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Lật thẻ nhớ nhanh

Chỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải

Tiến độ:0/3 đã nhớ (0%)

🎯 Trắc nghiệm trọng tâmThẻ 1 / 3

Vectơ trong không gian được định nghĩa là gì?

🔄Bấm vào thẻ để lật xem đáp ánĐộ dài: 60s

✅ Trọng tâm ghi nhớThẻ 1 / 3

Một tia phân giác

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức

★ Kiến thức cốt lõi

Đọc kỹ đề bài và gạch chân các từ khóa quan trọng (tất cả, còn lại, hơn, kém, gấp lần).

Thực hiện các phép tính cẩn thận từ trái sang phải, ưu tiên trong ngoặc trước, nhân chia trước cộng trừ sau.

Kiểm tra lại kết quả và đơn vị đo (cm, dm, m, kg, lít...) trước khi ghi đáp số.

⚠️ Lưu ý hay sai:Hay nhầm lẫn giữa số chục và số đơn vị hoặc quên đổi về cùng đơn vị đo trước khi tính toán.

Lý thuyết Vecto trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

1. Vecto trong không gian

Khái niệm vecto trong không gian

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vecto trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

- Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vecto và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

2. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian

a) Tổng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto và . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho , . Khi đó, vecto được gọi là tổng của hai vecto và , kí hiệu là .

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto.

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có .

b) Hiệu của hai vecto trong không gian

Trong không gian, vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto được gọi là vecto đối của vecto , kí hiệu là .

Vecto được gọi là hiệu của hai vecto và và kí hiệu là .

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

3. Tích của một số với một vecto trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực với một vecto là một vecto, kí hiệu là , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto nếu k > 0; ngược hướng với vecto nếu k < 0.

- Có độ dài bằng .

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto.

4. Tích của một số với một vecto trong không gian

a) Góc giữa hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto và khác . Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho . Khi đó, góc được gọi là góc giữa hai vecto và , kí hiệu .

b) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto và khác . Tích vô hướng của hai vecto và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức

Giải câu hỏi mở đầu trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào lý thuyết trong bài.

Lời giải chi tiết

Trong không gian, vectơ vẫn là công cụ để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, lực hay các đại lượng khác. Các phép toán trong không gian tương tự như trong mặt phẳng nhưng có một số khác biết như:

- Biểu diễn vectơ: Trong không gian mỗi vectơ được biểu diễn bởi một cặp ba giá trị (x; y; z).

- Các phép toán vectơ: cơ bản vẫn giống trong mặt phẳng.

Giải mục 1 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về biểu diễn lực qua đoạn thẳng có hướng: Dùng đoạn thẳng có hướng để biểu diễn lực căng dây. Hướng của đoạn thẳng chỉ hướng của của lực căng dây, độ dài đoạn thẳng thể hiện độ lớn của lực và được lấy tỉ lệ với độ lớn của lực.

Lời giải chi tiết:

a) Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.

b) Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về nhận biết vectơ trong không gian để tìm hình ảnh thực tế: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Lời giải chi tiết:

Một số ví dụ khác:

a) Hướng bay của khinh khí cầu:

b) Hướng đi của thuyền trên sông:

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ :

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD): Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

+ Sử dụng kiến thức về độ dài vectơ để tìm hai vectơ có cùng độ dài: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là .

Lời giải chi tiết:

a) Trong các vectơ , hai vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD).

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên .

Tam giác ADD’ vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

Tam giác ADC vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

Do đó, hay .

Vậy hai vectơ có cùng độ dài.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

a) So sánh độ dài của hai vectơ và .

b) Nhận xét về giá của hai vectơ và .

c) Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

+ Sử dụng kiến thức về độ dài vectơ: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là .

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành. Suy ra, . Do đó, .

b) Vì ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành nên AB//CD, CD//C’D’. Do đó, AB//C’D’. Vậy giá của hai vectơ và song song với nhau.

c) Hai vectơ và cùng phương và cùng hướng.

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải bài toán: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử có ba vectơ , và sao cho: và .

Vì nên hai vectơ , có cùng hướng và (1)

Vì nên hai vectơ , có cùng hướng và (2)

Từ (1) và (2) ta có hai vectơ , có cùng hướng và . Do đó, .

Do đó, hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó bằng nhau.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ và , vectơ nào bằng vectơ .

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải bài toán: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và . Do đó, hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Vì AB và SC chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.

Vì hai vectơ và không cùng phương nên hai vectơ và không bằng nhau.

b) Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Tứ giác ABNM có: AB//MN, AM//BN nên tứ giác ABNM là hình bình hành. Do đó, , lại có: AB//MN nên hai vectơ cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, . Vậy điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB và cạnh BC.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là . Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là .

Vì hai vectơ và đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ và có cùng hướng (1).

Độ dài vectơ là: , độ dài vectơ là: nên (2)

Từ (1) và (2) ta có: . Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.

Giải mục 2 trang 49, 50, 51 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ . Lấy điểm A’ khác A và vẽ các vectơ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao và .

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

a) Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và . Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và . Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

b) Vì hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ .

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, .

Ta có: .

Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên .

Vậy .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

(đpcm).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ và có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ và có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì .

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên .

b) Ta có: (1)

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’ // DD’, và , DD’ // CC’. Suy ra, AA’ // CC’ và . Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: (2)

Từ (1) và (2) ta có: .

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: .

Lời giải chi tiết:

Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên .

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên .

Ta có: .

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về Định luật III Newton để giải thích: Lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) và là hai vectơ đối nhau;

b) .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để chứng minh: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

b) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì .

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên , AB//CD. Suy ra (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, và BN//DM. Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên và là hai vectơ đối nhau.

b) Theo a ta có: .

Do đó,

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để giải thích: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Lời giải chi tiết:

Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.

Giải mục 3 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)

a) Hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{B^{'} C^{'}}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao $| \vec{M N} | = \frac{1}{2} | \vec{B^{'} C^{'}} |$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ được kí hiệu là $| \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.

Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.

Do đó hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{B^{'} C^{'}}$ có cùng phương và cùng hướng.

b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên $B C = B^{'} C^{'}$

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $M N = \frac{1}{2} B C$

Suy ra: $| \vec{M N} | = \frac{1}{2} | \vec{B^{'} C^{'}} |$ .

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hai vectơ $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ $(- 1) \vec{a}$ và $- \vec{a}$ có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Hai vectơ $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Hai vectơ $(- 1) \vec{a}$ và $- \vec{a}$ bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $S E = \frac{1}{3} S A, S F = \frac{1}{3} S B$ . Chứng minh rằng $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ .

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k > 0$ , ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k < 0$ .

- Có độ dài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\frac{S E}{S A} = \frac{S F}{S B} (= \frac{1}{3})$ .

Xét tam giác SAB có: $\frac{S E}{S A} = \frac{S F}{S B}$ nên FE // AB và $E F = \frac{1}{3} A B$ (theo định lí Thales).

Vì hai vectơ $\vec{E F}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng nên $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ và AB // CD. Do đó, $\vec{A B} = \vec{D C}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ .

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\vec{A I} = 3 \vec{I G}$ (H.2.19). Chứng minh rằng $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k > 0$ , ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k < 0$ .

- Có độ dài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

Theo ví dụ 8 ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}$

$= 3 \vec{A G}$ $\Rightarrow \vec{A I} + \vec{I B} + \vec{A I} + \vec{I C} + \vec{A I} + \vec{I D} = 3 \vec{A G}$

$\Rightarrow \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = 3 \vec{A G} - 3 \vec{A I}$

$= 3 (\vec{A G} + \vec{I A}) = 3 \vec{I G} = \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

VD8

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ . Hãy giải thích vì sao $\vec{F_{1}} = k \vec{F_{2}}$ với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k > 0$ , ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k < 0$ .

- Có độ dài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ có cùng hướng. Do đó, $\vec{F_{1}} = k \vec{F_{2}}$ với k là một số thực dương nào đó (1).

Gọi $v_{1}, v_{2}$ lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900 km/h và 920 km/h.

Suy ra $v_{1} = 900$ (km/h),{v_2} = 920\) (km/h).

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên:

$\frac{| \vec{F_{1}} |}{| \vec{F_{2}} |} = \frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \frac{900^{2}}{920^{2}} = \frac{2025}{2116} \Rightarrow | \vec{F_{1}} | = \frac{2025}{2116} | \vec{F_{2}} |$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\vec{F_{1}} = \frac{2025}{2116} \vec{F_{2}} \Rightarrow k = \frac{2025}{2116} \approx 0, 96$ .

Giải mục 4 trang 54, 55, 56 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian, cho hai vectơ $\to a$ và $\to b$ khác $\to 0$ . Lấy điểm O và vẽ các vectơ $- - \to O A = \to a, - - \to O B = \to b$ . Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ $- -- \to O^{'} A^{'} = \to a, - -- \to O^{'} B^{'} = \to b$ (H.2.21).

a) Hãy giải thích vì sao $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'}$ .

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $ˆ A O B = ˆ A^{'} O^{'} B^{'}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $- - \to A B + - - \to B C = - - \to A C$ .

b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, $cos ˆ A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $- - \to A B = - - \to A O + - - \to O B$ ;

$- -- \to A^{'} B^{'} = - -- \to A^{'} O^{'} + - -- \to O^{'} B^{'}$ .

Mà $- - \to O A = \to a$ , $- - \to O B = \to b$ , $- -- \to O^{'} A^{'} = \to a$ , $- -- \to O^{'} B^{'} = \to b$

$\Rightarrow - - \to A O = - -- \to A^{'} O^{'}$ ; $- - \to O B = - -- \to O^{'} B^{'}$ .

Do đó, $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'}$ .

b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có:

$cos ˆ A O B = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$ .

Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có:

$cos ˆ A^{'} O^{'} B^{'} = \frac{O^{'} A^{' 2} + O^{'} B^{' 2} - A^{'} B^{' 2}}{2. O^{'} A^{'} . O^{'} B^{'}}$ .

Vì $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'} \Rightarrow A B = A^{'} B^{'}$ , $- - \to A O = - -- \to A^{'} O^{'}$

$\Rightarrow O A = O^{'} A^{'}$ ; $- - \to O B = - -- \to O^{'} B^{'} \Rightarrow O B = O^{'} B^{'}$ .

Do đó, $cos ˆ A O B = cos ˆ A^{'} O^{'} B^{'} \Rightarrow ˆ A O B = ˆ A^{'} O^{'} B^{'}$ .

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\to 0$ ), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\to a$ , $\to b$ khác $\to 0$ . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $- - \to O A = \to a, - - \to O B = \to b$ . Khi đó, góc $ˆ A O B (0^{0} \leq ˆ A O B \leq 180^{0})$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\to a$ và $\to b$ , kí hiệu là $(\to a, \to b)$ .

Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng $0^{0}$ .

Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng $180^{0}$ .

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc $(- - \to A A^{'}, - - \to B C)$ và $(- - \to A B, - -- \to A^{'} C^{'})$ .

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên AA’B’B là hình chữ nhật. Suy ra, $- - \to A A^{'} = - - \to B B^{'}$ . Do đó: $(- - \to A A^{'}, - - \to B C) = (- - \to B B^{'}, - - \to B C) = ˆ B^{'} B C = 90^{0}$ (do BB’C’C là hình chữ nhật).

Vì AA’B’B là hình chữ nhật nên $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'}$ .

Do đó, $(- - \to A B, - -- \to A^{'} C^{'}) = (- -- \to A^{'} B^{'}, - -- \to A^{'} C^{'}) = ˆ C^{'} A^{'} B^{'}$ .

Vì tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên $ˆ C^{'} A^{'} B^{'} = 60^{0}$ . Do đó, $(- - \to A B, - -- \to A^{'} C^{'}) = 60^{0}$ .

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ $\to u$ và $\to v$ là một số, kí hiệu là $\to u \cdot \to v$ , được xác định bởi công thức sau: $\to u \cdot \to v = ∣ ∣ \to u ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ \to v ∣ ∣ \cdot cos (\to u, \to v)$ .

Lời giải chi tiết:

Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ $\to u$ và $\to v$ là một số, kí hiệu là $\to u \cdot \to v$ , được xác định bởi công thức sau:

$\to u \cdot \to v = ∣ ∣ \to u ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ \to v ∣ ∣ \cdot cos (\to u, \to v)$ .

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 57 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $- \to A S . - - \to B D$ và $- \to A S . - - \to C D$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\to a$ , $\to b$ đều khác $\to 0$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\to a$ và $\to b$ là một số, kí hiệu là $\to a \cdot \to b$ , được xác định bởi công thức sau: $\to a \cdot \to b = ∣ ∣ \to a ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣ \cdot cos (\to a, \to b)$ .

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ $\to a$ , $\to b$ đều khác $\to 0$ . Khi đó, $\to a ⊥ \to b \Leftrightarrow \to a \cdot \to b = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là $a \sqrt{2}$ $\Rightarrow O B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE // SA, $O E = \frac{1}{2} S A = \frac{a}{2}$ . Suy ra: $- \to A S = 2 - - \to O E$ .

Vì O là trung điểm của BD nên $- - \to B D = 2 - - \to O B$ .

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, $E B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có: $O E^{2} + O B^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{2} = \frac{3 a^{2}}{4} = E B^{2}$ nên $Δ$ EOB vuông tại O. Do đó, $- - \to O E ⊥ - - \to O B$ .

Ta có: $- \to A S . - - \to B D = 2 - - \to O E . (- 2 - - \to O B) = - 4 - - \to O E . - - \to O B = 0$ .

Tứ giác ABCD là hình vuông nên $- - \to C D = - - \to B A$ .

Ta có: $- \to A S . - - \to C D = - \to A S . - - \to B A = - - \to A S . - - \to A B$

$= - ∣ ∣ ∣ - \to A S ∣ ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ - - \to A B ∣ ∣ ∣ cos (- \to A S, - - \to A B) = - ∣ ∣ ∣ - \to A S ∣ ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ - - \to A B ∣ ∣ ∣ cos ˆ S A B$ .

Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra .

Suy ra:

LT11

Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 57 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: .

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ , đều khác . Khi đó, .

Lời giải chi tiết:

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, .

Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra và .

Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, và .

Áp dụng định lí Pythagore vào A’C’C vuông tại C’ có:

Áp dụng định lí Pythagore vào D’C’E vuông tại C’ có:

Vì nên E’D’E vuông tại E’. Do đó, .

Ta có: (đpcm).

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 57 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức , trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để giải thích: Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hương của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: .

Lời giải chi tiết:

Ta có: .

Vì lực có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi lớn nhất. Do đó, . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

Giải bài tập 2.1 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho ba vectơ $\to a, \to b, \to c$ phân biệt và đều khác . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.

b) Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.

c) Nếu và đều cùng hướng với thì và ngược hướng.

d) Nếu và đều ngược hướng với thì và ngược hướng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng hướng, ngược hướng.

Lời giải chi tiết

Các câu đúng: Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.

Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.

Giải bài tập 2.2 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có và . Tính độ dài của các vectơ và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về độ dài vectơ để tính: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là .

Lời giải chi tiết

Vì B’BAA’ là hình chữ nhật nên .

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên tam giác BAD vuông tại A.

Do đó, (định lí Pythagore), suy ra: .

Vì BB’D’D là hình chữ nhật nên tam giác DD’B vuông tại D.

Theo định lí Pythagore ta có:

Giải bài tập 2.3 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\vec{a}$ ) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ ).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ và $\vec{e} .$

b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ và $\vec{e}$ cùng phương với nhau; các vectơ $\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ .

b) Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ $\vec{e}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Giải bài tập 2.4 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:

a) $- - \to A B + - - \to D D^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to C C^{'}$ ;

b) $- - \to A B + - - \to C D^{'} - - - \to C C^{'} = \to 0$ ;

c) $- - \to B C - - - \to C C^{'} + - - \to D C = - - \to A^{'} C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $- - \to A B + - - \to B C = - - \to A C$ .

b) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $- - \to A B - - - \to A C = - - \to C B$ .

c) Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $- - \to A B + - - \to A D = - - \to A C$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $- - \to A B = - - \to D C$ .

Vì CDD’C’ là hình bình hành nên $- -- \to C^{'} D^{'} = - - \to C D$ , $- - \to D D^{'} = - - \to C C^{'}$ .

Ta có: $- - \to A B + - - \to D D^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to D C + - - \to C C^{'} + - - \to C D$

$= (- - \to C D + - - \to D C) + - - \to C C^{'} = - - \to C C^{'}$ .

b) Ta có: $- - \to A B + - - \to C D^{'} - - - \to C C^{'} = - - \to A B + - -- \to C^{'} D^{'}$

$= - - \to A B + - - \to C D = \to 0$ .

c) Vì ABCD là hình bình hành nên $- - \to C B + - - \to C D = - - \to C A$ .

Vì A’ACC’ là hình bình hành nên $- - \to C A + - - \to C C^{'} = - - \to C A^{'}$ .

$- - \to B C - - - \to C C^{'} + - - \to D C = - (- - \to C B + - - \to C D) - - - \to C C^{'}$

$= - - - \to C A - - - \to C C^{'} = - (- - \to C A + - - \to C C^{'}) = - - - \to C A^{'} = - - \to A^{'} C$ .

Giải bài tập 2.5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có , và . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ , , :

a) ;

b) ;

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc hình bình hành để biểu diễn vectơ: Nếu ABCD là hình bình hành thì .

Lời giải chi tiết

a) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên:

b) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên:

Ta có: .

Vì C’CBB’ là hình bình hành nên:

+ .

c) Vì C’CBB’ là hình bình hành nên:

Giải bài tập 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $\vec{O C} = - \vec{O A}$ , $\vec{O D} = - \vec{O B}$ .

Ta có:

$\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O} + \vec{O A} + \vec{S O} + \vec{O C}$

$= 2 \vec{S O} + (\vec{O A} - \vec{O A}) = 2 \vec{S O}$ .

$\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S O} + \vec{O B} + \vec{S O} + \vec{O D}$

$= 2 \vec{S O} + (\vec{O B} - \vec{O B}) = 2 \vec{S O}$ .

Do đó, $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Chứng minh: Nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

$\Leftrightarrow \vec{S A} - \vec{S B} = \vec{S D} - \vec{S C} \Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{C D}$ .

Suy ra, hai vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{C D}$ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, AB = CD, AB // CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Giải bài tập 2.7 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho . Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì

Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực với một vectơ là một vectơ, kí hiệu là được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu .

- Có độ dài bằng .

Lời giải chi tiết

Ta có:

(đpcm).

Giải bài tập 2.8 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $- \to A I = 3 - \to I G$ , ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vectơ là một vectơ, kí hiệu là được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu .

- Có độ dài bằng .

Lời giải chi tiết

Đặt tên khối rubik là tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, I là trọng tâm tứ diện ABCD.

Do đó .

Vì chiều cao của rubik bằng 8cm nên:

(cm).

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng 2 cm.

Giải bài tập 2.9 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc hình bình hành để giải thích: Nếu ABCD là hình bình hành thì $- - \to A B + - - \to A D = - - \to A C$ .

Lời giải chi tiết

Biểu diễn lực các lực kéo của ba sợi dây bằng các vectơ, đặt tên các vectơ như hình vẽ:

Lấy điểm D sao cho tứ giác DCAE là hình bình hành (điểm D nằm khác phía với điểm B).

Do đó, giá của các vectơ $- - \to A C$ và $- - \to A E$ cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE) (1)

Vì DCAE là hình bình hành nên $- - \to A C + - - \to A E = - - \to A D$ (quy tắc hình bình hành).

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên $- - \to A D = - - - \to A B$ , do đó hai vectơ $- - \to A D$ và $- - \to A B$ có giá cùng nằm trên một mặt phẳng (ACDE) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ $- - \to A C$ , $- - \to A E$ và $- - \to A B$ có giá cùng nằm trên mặt phẳng (ACDE).

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng.

Giải bài tập 2.10 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) và ;

b) và ;

c) và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ , khác . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho . Khi đó, góc được gọi là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là .

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: .

Lời giải chi tiết

a) Vì AA’ // CC’ nên hai vectơ và ngược hướng nhau.

Suy ra, .

Do đó,

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên .

Vì ABCD là hình vuông nên .

Do đó, .

Ta có:

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên .

Vì ABCD là hình vuông nên và .

Ta có:

Suy ra .

Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ $\to a$ và $\to b$ có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là $45^{o}$ , hãy tính:

a) $\to a . \to b$ ;

b) $(\to a + 3 \to b) . (\to a - 2 \to b)$ ;

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 2.12 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} $;

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC}$

$ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} $

$= \overrightarrow {CD} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) $

$= \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} $ (đpcm).

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} $

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {DB} $

$+ \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {BC} $

$ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB}$

$ + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} $

$ = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} } \right) $

$+ \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0$.

📢Thấy lời giải hay & dễ hiểu? Chia sẻ cùng các bạn trong lớp nhé:

🧰

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12

Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7

Xem tất cả 14 công cụ→

📐

Sổ tay Công thức Toán - Lý - HóaCấp 2 & 3

Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.

⚡

Máy giải phương trình từng bướcTừng bước

Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.

📏

Máy tính Hình học 2D & 3DCông thức & Tính

Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.

🔢

Bảng cửu chương & Tính nhanhLuyện tính nhanh

Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.

✨

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng

👍98.6% học sinh thấy dễ hiểu

Lời giải bài Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?

⭐

Thử thách nhận 10 Sao

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Trắc nghiệm củng cố: Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức

+10 Sao thưởng ⭐

Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!

1Câu hỏi 1

Vectơ trong không gian được định nghĩa là gì?

2Câu hỏi 2

Hai vectơ trong không gian được gọi là cùng phương nếu giá của chúng:

3Câu hỏi 3

Hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

được gọi là bằng nhau nếu chúng:

4Câu hỏi 4

Cho hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

5Câu hỏi 5

Trong không gian, cho vectơ

\vec{a}

. Vectơ đối của

\vec{a}

, kí hiệu là

-\vec{a}

, là vectơ:

Đã chọn: 0/5 câu

Bài học cùng chuyên đề: Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

3 bài học

Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Bài tập cuối chương 2 - Toán 12 Kết nối tri thức

Xem lời giải→

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Luyện tập có chấm điểm

Trắc nghiệm củng cố: Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức

Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.

Vào làm bài ngay→

Ngân hàng đề thi

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12

Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.

Xem tất cả đề thi→

💡Góc tra cứu bỏ túi:

📐Sổ tay công thức Toán - Lý - Hóa ⚛️Bảng tuần hoàn Hóa học 📖Động từ bất quy tắc

📘Chuyên đề Ôn thi SGK Kết Nối Tri Thức

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12

Sau khi học xong "Bài 6. Vectơ trong không gian - Toán 12 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!

📚Xem Đề Thi Lớp 12 📱Tải App Luyện Đề

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi