Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Các phép toán vecto cơ bản
|
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto và . Ta có: +) . +) . +) với k là một số thực. |
Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
|
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng . Khi đó: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là . Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là . |
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
|
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto và được xác định bởi công thức . |
3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 500; 7) đến điểm B (940; 550; 8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
Giải:
Gọi C(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.
Do đó, .
Mặt khác, nên .
Từ đó và vì vậy C(1010; 575; 8,5).
Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010; 575; 8,5).
Giải câu hỏi mở đầu trang 67 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có tọa độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto đã học trong bài.
Lời giải chi tiết
Vì A'(240; 450; 0) nên khoảng cách từ A' đến các trục Ox, Oy lần lượt là 450 cm và 240 cm.
Suy ra A'A = 450 cm và A'O' = 240 cm.
Từ giả thiết suy ra , do đó (cm).
Vì O'O = A'A = 450 cm và O' nằm trên trục Oy nên tọa độ của điểm O’ là (0;450;0).
Do đó và (cm).
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm và mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.
Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\).
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\).
CH
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
LT1
Trả lời Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right)\)
\(= \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\).
HĐ2
Trả lời Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
LT2
Trả lời Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right)\), \(B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\).
Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và .
a) Giải thích vì sao và .
b) Sử dụng biểu diễn để tính các tích vô hướng và .
c) Sử dụng biểu diễn để tính các tích vô hướng .
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: .
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ , đều khác . Khi đó, .
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: .
Vì ; .
b) Ta có:
.
.
.
c) Ta có:
.
Mà nên: .
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính .
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Ta có:
+ .
+ với k là một số thực.
+ .
Lời giải chi tiết:
Ta có: ;
;
.
Do đó,
.
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho và .
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính .
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu và thì .
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu và là hai vectơ khác thì .
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: ;
.
.
Chu vi tam giác ABC là: .
b) .
.
Vậy .
Giải mục 3 trang 70, 71 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 76 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi D(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên \(AB = BD\). Do đó, \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} = \left( {140;50;1} \right)\).
Mặt khác: \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 140\\y - 550 = 50\\z - 8 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\;080\\y = 600\\z = 9\end{array} \right.\).
Vậy D(1 080; 600; 9). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là (1 080; 600; 9).
LT6
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 71 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc \(\alpha \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 6 ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( { - 120;0;300} \right)\); \(\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right| = 60\sqrt {29}\) cm, \(O'\left( {0;450;0} \right)\), \(A'\left( {240;450;0} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow {A'O'} = \left( { - 240;0;0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {A'O'} } \right| = 240\) cm.
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {A'O'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'O'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'O'} } \right|}}\)
\(= \frac{{\left( { - 120} \right)\left( { - 240} \right) + 0.0 + 300.0}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}}\).
\( \Rightarrow \widehat {B'A'O'} \approx {68^0}\). Vậy \(\alpha \approx {68^0}\).
LT7
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 72 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính độ dài của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 7 ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là A(2; 1; 0,5), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là B(-1; -1,5; 0,8).
Ta có: \(OA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\) km, \(OB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + 0,{8^2}} = \frac{{\sqrt {389} }}{{10}}\) km.
Vì gốc O đặt tại điểm xuất phát và \(OA > OB\) nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.
Giải bài tập 2.20 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ , và .
a) Tìm tọa độ của các vectơ và .
b) Tính các tích vô hướng và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Ta có:
+ .
+ .
+ với k là một số thực.
+ .
Lời giải chi tiết
a)
.
.
b)
.
Ta có: nên:
.
Giải bài tập 2.21 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { - 4;3;3} \right)\), \(N\left( {4; - 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; - 1} \right)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} \), \(\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \).
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) thì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\).
c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {MN + NP} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {4 - \left( { - 4} \right); - 4 - 3;2 - 3} \right) = \left( {8; - 7; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {MP} \left( {7;3; - 4} \right)\).
Vì \(\frac{8}{7} \ne \frac{{ - 7}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 4}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN}\), \(\overrightarrow {MP} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} \left( { - 8;7;1} \right)\), \(\overrightarrow {NP} \left( { - 1;10; - 3} \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \)
\(= \left( {\left( { - 8} \right) + \left( { - 1} \right);7 + 10;1 - 3} \right) \)
\(= \left( { - 9;17; - 2} \right)\).
Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: \(\overrightarrow {NQ} \left( {x - 4;y + 4;z - 2} \right)\)
Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \), suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 9\\y + 4 = 17\\z - 2 = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 13\\z = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(Q\left( { - 5;13;0} \right)\).
c) Ta có:
\(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {7^2} + {1^2}} = \sqrt {114} \);
\(NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {110} \).
Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là:
\(C = 2\left( {NP + NM} \right) = 2\left( {\sqrt {114} + \sqrt {110} } \right)\).
Giải bài tập 2.22 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;−3;1) và C(4;−1;4).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng ˆBAC=90o.
c) Tính ˆABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng và thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: .
b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho và là hai vectơ khác . Hai vectơ và vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu .
c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu và thì .
Lời giải chi tiết
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó:
.
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: .
b) Ta có: , .
Vì nên . Do đó, .
c) Ta có: ; .
Vì tam giác ABC vuông tại A nên .
Giải bài tập 2.23 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB). Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: (xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2).
Lời giải chi tiết
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Khi đó, O′(0;0;3), .
Vì phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật nên hình O’C’B’A’ là hình chữ nhật. Gọi là giao điểm của hai đường chéo O’B’ và A’C’ nên I là trung điểm của O’B’.
Vì đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học nên đèn trùng với I.
Do đó: . Suy ra, I(3; 4; 3). Vậy tọa độ của điểm treo đèn là (3; 4; 3).
Giải bài tập 2.24 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi radar có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu và thì .
Lời giải chi tiết
Vì .
Do đó, radar không thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên.
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 12
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 12
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 12 Lớp LOP12
Sau khi học xong "Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Toán 12 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!