Bài tập cuối chương 2 - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 2.25 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên:

.

Do đó khẳng định ở A đúng.

Vì

.

Do đó khẳng định ở B đúng.

Gọi N là trung điểm của CD, khi đó:

.

Do đó khẳng định ở C đúng.

Ta có:

.

Do đó khẳng định ở D sai.

Chọn D

Giải bài tập 2.26 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

C. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Lời giải chi tiết

Vì M là trung điểm của CC’ nên:

$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Chọn B

Giải bài tập 2.27 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \).

B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'} \).

D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \).

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

Vì DC’B’A là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC'}  = \overrightarrow {AB'} \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DC'}  = \overrightarrow {AB'} \) nên A đúng, D sai.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \) (quy tắc hình hộp) nên B đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AD'} \), do đó C đúng.

Chọn D

Giải bài tập 2.28 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{4}\).

B. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).

C. \(\frac{{{a^2}}}{3}\).

D. \({a^2}\).

Lời giải chi tiết

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

\(\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{M^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2AB.MB}} \)

\(= \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right)\)

\(= a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Chọn B

Giải bài tập 2.29 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;0;3} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 2;5} \right)\).
B. \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).
C. \(3\overrightarrow a = \left( {3; - 2;2} \right)\).
D. \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0; - 4;7} \right)\).

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 - 2; - 2 + 0;2 + 3} \right) = \left( { - 1; - 2;5} \right)\) nên A đúng.

\(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1 + 2; - 2 - 0;2 - 3} \right) = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) nên B đúng.

\(3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.\left( { - 2} \right);3.2} \right) = \left( {3; - 6;6} \right)\) nên C sai.

\(2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2.1 - 2;2.\left( { - 2} \right) + 0;2.2 + 3} \right) = \left( {0; - 4;7} \right)\) nên D đúng.

Chọn C

Giải bài tập 2.30 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có \(A\left( { - 1;0;3} \right)\), \(B\left( {2;1; - 1} \right)\) và \(C\left( {3;2;2} \right)\). Tọa độ của điểm D là

A. \(\left( {2; - 1;0} \right)\).

B. \(\left( {0; - 1; - 6} \right)\).

C. \(\left( {0;1;6} \right)\).

D. \(\left( { - 2;1;0} \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;1; - 4} \right)\). Gọi tọa độ của điểm D là D(x; y; z) thì \(\overrightarrow {DC} \left( {3 - x;2 - y;2 - z} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = 3 - x\\1 = 2 - y\\ - 4 = 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\\z = 6\end{array} \right.\).

Do đó, tọa độ của điểm D là \(\left( {0;1;6} \right)\).

Chọn C

Giải bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;0; - 1} \right)\), \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;0} \right)\). Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. \(\left( {5;4; - 1} \right)\).

B. \(\left( { - 5; - 4;1} \right)\).

C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\).

D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Lời giải chi tiết

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.2 - 1 - 0 = 5\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.1 - 0 + 1 = 4\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.0 + 1 - 2 =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là \(\left( {5;4; - 1} \right)\).

Chọn A

Giải bài tập 2.32 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
A. \( - 2\).
B. \( - 11\).
C. 11.
D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2 =  - 11\)

Chọn B

Giải bài tập 2.33 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {0; - 1;1} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng

A. \({60^o}\).

B. \({135^o}\).

C. \({120^o}\).

D. \({45^o}\).

Lời giải chi tiết

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

\(= \frac{{2.0 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \)

\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^o}\).

Chọn B

Giải bài tập 2.34 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 2;2;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1; - 2} \right)\). Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng

A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải chi tiết

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \)

\(= \frac{{\left( { - 2} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {2^2} + } .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn A

Giải bài tập 2.35 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \).

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Cách 1:

Suy ra \(\overrightarrow {OC}  =  - \overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC} \)

\(= 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \).

\(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD} \)

\(= 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \).

Do đó, \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \).

Cách 2:

Vì O là trung điểm của AC nên \(2\overrightarrow{SO} = \overrightarrow{SA} +\overrightarrow{SC}\) (1)

Mặt khác, O cũng là trung điểm của BD nên \(2\overrightarrow{SO} = \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SD}\) (cùng bằng \(2\overrightarrow{SO}\)).

Giải bài tập 2.36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN} \). Hãy biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) theo \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MA} \),

\(\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN}  \Rightarrow \overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {DN} \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \) (1)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}\)

\(  =  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN} \) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

\(2\overrightarrow {MN}  \)

\(= \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN} \)

\(=  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\(= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}\)

\(  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).

Giải bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow{AA'} \).

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên \(\overrightarrow {A'G}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).

Vì I là trung điểm BD nên \(\overrightarrow {A'I}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'D} } \right) \)

\(= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} } \right) \)

\(=  - \overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Do đó, \(\overrightarrow {A'G}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'G}  \)

\(= \overrightarrow {AA'}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  \)

\(= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\).

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \).

Do đó, \(\overrightarrow {AC'}  = 3\overrightarrow {AG} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {AG} \) cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Giải bài tập 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0;2} \right)\).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 - 1 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G\(\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right)\).

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: \(\overrightarrow {BM} \left( { - 1; - 1;z + 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( { - 3;1; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên:

\(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} \)

\(= 0 \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( {z + 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1\).

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Giải bài tập 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có \(A\left( {2;3;1} \right)\), \(C\left( { - 1;2;3} \right)\) và \(O'\left( {1; - 2;2} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải chi tiết

Ta có: O(0; 0; 0).

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - {x_A} = {x_{O'}} - {x_O}\\{y_{A'}} - {y_A} = {y_{O'}} - {y_O}\\{z_{A'}} - {z_A} = {z_{O'}} - {z_O}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_{O'}} - {x_O} + {x_A} = 3\\{y_{A'}} = {y_{O'}} - {y_O} + {y_A} = 1\\{z_{A'}} = {z_{O'}} - {z_O} + {z_A} = 3\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow A'\left( {3;1;3} \right)\).

\(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_C} = {x_{O'}} - {x_O}\\{y_{C'}} - {y_C} = {y_{O'}} - {y_O}\\{z_{C'}} - {z_C} = {z_{O'}} - {z_O}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = {x_{O'}} - {x_O} + {x_C} = 0\\{y_{C'}} = {y_{O'}} - {y_O} + {y_C} = 0\\{z_{C'}} = {z_{O'}} - {z_O} + {z_C} = 5\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow C'\left( {0;0;5} \right)\).

Vì ABCO là hình bình hành nên:

\(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 1 = 2\\{y_B} - 2 = 3\\{z_B} - 3 = 1\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = 5\\{z_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;5;4} \right)\).

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 1 = 1\\{y_{B'}} - 5 =  - 2\\{z_{B'}} - 4 = 2\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2\\{y_{B'}} = 3\\{z_{B'}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {2;3;6} \right)\).

Giải bài tập 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\).

a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \).

b) Tính độ dài của \(\overrightarrow u \).

c) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  \)

\(= \left( { - 2 - 2.1;1 - 2.1;2 - 2\left( { - 1} \right)} \right) \)

\(= \left( { - 4; - 1;4} \right)\).

b) \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {33} \).

c) \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \)

\(= \frac{{\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\).

Giải bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \).

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 4; - 1 - 2;2 + 1} \right) = \left( { - 3; - 3;3} \right) \).

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 3 \).

b) Gọi M (x; y; z) thì \(\overrightarrow {MC}  = \left( { - x; - 2 - y,3 - z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MC}\)

\(  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x =  - 3\\ - 2 - y =  - 3\\3 - z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\).

Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0).

Ta có: \(\overrightarrow {AN} \left( {x - 4;y - 2;1} \right)\); \(\overrightarrow {BN} \left( {x - 1;y + 1; - 2} \right)\).

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} \), \(\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {BN} \) (với k là số thực bất kì).

Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = k\left( {x - 1} \right)\\y - 2 = k\left( {y + 1} \right)\\1 =  - 2k\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\\y - 2 =  - \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\\k = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy N(3; 1; 0).

Giải bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của chiếc đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của chiếc đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

+ Gốc O trùng với một góc của phòng.

+ Mặt phẳng (Oxy) trùng với trần nhà, mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (Oyz) trùng với hai bức tường (như hình vẽ).

Tọa độ của bóng đèn lúc đầu là A(1,6; 1,2; 0,5).

Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là: B(1,5; 1,5; 0,4).

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là:

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \)

\(= \sqrt {{{\left( {1,5 - 1,6} \right)}^2} + {{\left( {1,5 - 1,2} \right)}^2} + {{\left( {0,4 - 0,5} \right)}^2}}  \)

\(= \frac{{\sqrt {11} }}{{10}} \approx 0,33\) (m).

Vậy vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu khoảng 0,33 m.