Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán 11 kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Phương pháp giải:

Đồng hồ được chia thành từng phần theo các số, kim phút đi qua bao nhiêu số thì quay bấy nhiêu phần của vòng tròn.

Lời giải chi tiết:

a) Khi kim phút quay theo ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12, kim phút quay:

phần của vòng tròn.

b) Khi kim phút quay theo đúng chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12, kim phút quay:

phần của vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là: ngược chiều kim đồng hồ và cùng chiều kim đồng hồ.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 7 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho góc hình học  . Xác định số đo của góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau:

Phương pháp giải:

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

- Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là .

b) Ta có:

- Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là và .

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác , và được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để

.

Phương pháp giải:

Xác định các tia đầu, tia cuối và chiều quay để tìm được số đo của các góc lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

- Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là:

sđ.

- Các góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ow có số đo là:

sđ.

- Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ow có số đo là:

sđ.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, ta có:

sđ

với k = n + m.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 8 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho một góc lượng giác có số đo và một góc lượng giác có số đo . Tính số đo của các góc lượng giác .

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Charles: Với ba tia tùy ý , ta có:

sđ = sđ - sđ + .

Lời giải chi tiết:

Số đo của các góc lượng giác tia đầu , tia cuối là:

.

Vậy các góc lượng giác có số đo là .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: ${360}^{\circ }$, $-{450}^{\circ }$.

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: $3\pi$, $-\frac{11\pi }{5}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: ${\alpha }^{\circ }=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$; $\alpha rad=\alpha .{\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }$.

Lời giải chi tiết:

a) ${360}^{\circ }=360.\frac{\pi }{180}=2\pi$;

$-{450}^{\circ }=-450.\frac{\pi }{180}=-\frac{5}{2}\pi$.

b) $3\pi =3\pi .{\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }={540}^{\circ }$;

$-\frac{11\pi }{5}=\left(-\frac{11\pi }{5}\right).{\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }=-{396}^{\circ }$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài $l$ của cung tròn có số đo $\alpha$ rad.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn.

Lời giải chi tiết:

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bằng bán kính R.

b) Độ dài $l$ của cung tròn có số đo $\alpha$ rad: $l=R\alpha$.

VD1

Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Phương pháp giải:

Một cung của đường tròn bán kính R và số đo $\alpha$ rad thì có độ dài $l=R\alpha$.

Lời giải chi tiết:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi $45{}^{\circ }=45\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{4}$.

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là:

$l=R\alpha \text{=}6800\cdot \frac{\pi }{4}\approx 5340,708\approx 5341$ (km).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 10 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1; 0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ$(OA,OM)=\frac{5\pi }{4}$.

b) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ$(OA,ON)=-\frac{7\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1; 0) là gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ$(OA,OM)=\alpha$.

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$.

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\pi }{4}$ được xác định trong hình. 

b) $-\frac{7\pi }{4}=-\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}$.

Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{7\pi }{4}$ được xác định là điểm chính giữa cung BA. 

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xác định điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{15\pi }{4}$ và ${420}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1; 0) là gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ$(OA,OM)=\alpha$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $-\frac{15\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}+(-1).2\pi$.

Ta chia đường tròn làm 8 phần bằng nhau.

Điểm biểu diễn góc lượng giác trên được xác định là điểm M.

Ta có: $\frac{420}{360}=1+\frac{1}{6}$.

Ta chia đường tròn thành 6 phần bằng nhau.

Khi đó điểm N là điểm biểu diễn bởi góc có số đo ${420}^o$.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 11 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ của góc $\alpha$$(0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ })$ đã học ở lớp 10.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để nhắc lại.

Lời giải chi tiết:

+) Nửa đường tròn đơn vị: nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (H.3.2).

+) Với mỗi góc $\alpha$ $(0^o\le \alpha \le {180}^o)$ có duy nhất điểm $M(x_0;y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó:

$\sin \alpha =y_0$ là tung độ của M.

$\cos \alpha =x_0$ là hoành độ của M.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y_0}{x_0}(\alpha \ne {90}^o)$.

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x_0}{y_0}(\alpha \ne 0^o,\alpha \ne {180}^o)$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\pi }{6}$.

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Phương pháp giải:

Áp dụng $\sin \alpha =y$; $\cos \alpha =x$; $\tan \alpha =\frac{y}{x}$; $\cot \alpha =\frac{x}{y}$. 

Lời giải chi tiết:

a) Ta chia nửa đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $\frac{5\pi }{6}$.

b) Ta có:

$\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$;

$\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$;

$\tan \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{-\sqrt{3}}{3}$;

$\cot \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{-3}{\sqrt{3}}$.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 13 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: $\cos \frac{3\pi }{7}$; $\tan (-{37}^{\circ }{25}^{\prime })$;

b) Đổi ${179}^{\circ }{23}^{\prime }{30}^{\prime \prime }$ sang rađian;

c) Đổi $\frac{7}{9}$ (rad) sang độ.

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-580VNX.

Lời giải chi tiết:

a)

+) Tính $\cos \frac{3\pi }{7}$:

Vì đơn vị là radian ($\pi$), ta cần chuyển máy sang chế độ Radian: [SHIFT] [MENU] [2] (Đơn vị góc) [2] (Radian).

Bước bấm: [cos] $\to$ [Fraction] (nút phân số) $\to$ [3] [SHIFT] [$\times {10}^x$] (chữ $\pi$) $\to$ nút xuống $\to$ [7] $\to$ nút sang phải $\to$ [)] $\to$ [=].

Kết quả hiển thị: $\approx 0,2225$.

+) Tính $\tan (-{37}^{\circ }{25}^{\prime })$:

Vì đơn vị là độ (${}^{\circ }$), ta cần chuyển máy sang chế độ Độ: [SHIFT] [MENU] [2] (Đơn vị góc) [1] (Độ).

Bước bấm: [tan] $\to$ [-] $\to$ [3] [7] [,,,] (nút độ phút giây) $\to$ [2] [5] [,,,] $\to$ [)] $\to$ [=].

Kết quả hiển thị: $\approx -0,7650$.

b) Đổi sang Radian, nên màn hình phải có chữ R (Ấn [SHIFT] [MENU] [2] [2]).

Bước bấm:

1. Nhập góc đề bài cho: 179 [,,,] 23 [,,,] 30 [,,,].

2. Ấn [=] để máy ghi nhận giá trị độ này.

3. Ấn [OPTN] $\to$ bấm nút xuống $\to$ chọn 2 (Đơn vị góc) $\to$ chọn 1 (để báo cho máy đây là độ: ${}^{\circ }$).

4. Ấn [=].

Kết quả: $\approx 3,1310$ (rad).

c) Đổi sang Độ, nên màn hình phải có chữ D (Ấn [SHIFT] [MENU] [2] [1]).

Bước bấm:

1. Nhập phân số: [Fraction] [7] $\to$ nút xuống $\to$ [9] $\to$ nút sang phải để thoát khỏi phân số.

2. Chỉ định đơn vị góc là Radian: Ấn [OPTN] $\to$ bấm nút xuống $\to$ chọn [2] (Đơn vị góc) $\to$ chọn [2] (${}^r$).

3. Ấn [=] để ra kết quả dạng thập phân.

4. Ấn nút [$,,,$] nếu muốn chuyển kết quả sang dạng độ - phút - giây.

Kết quả hiển thị: $\approx 44,{5634}^{\circ }$ (hoặc ${44}^{\circ }{33}^{\prime }{48}^{\prime \prime }$).

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 13 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ hãy tính ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$.

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $\tan \alpha$, hãy tính $1+{\tan }^2\alpha$.

Phương pháp giải:

Vẽ hình. Xác định các điểm $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ trên hình.

Sử dụng định lý Pythagore để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$ trên đường tròn lượng giác. Ta có:

OK = MH = $\sin \alpha$.

OH = KM = $\cos \alpha$.

Theo định lý Pythagore:

$O{M}^2=O{H}^2+M{H}^2$

$\Rightarrow 1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$.

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản để tính giá trị lượng giác góc $\alpha$. Chú ý dấu của giá trị lượng giác (sử dụng đường tròn lượng giác để suy ra hoặc ghi nhớ bảng dưới):

Lời giải chi tiết:

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ ba, do đó $\sin \alpha <0$.

Mặt khác, từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra:

$\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa $\cos (-\alpha )$ và $\cos \alpha$; $\sin (-\alpha )$ và $\sin \alpha$.

b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: $\tan (-\alpha )$ và $\tan \alpha$; $\cot (-\alpha )$ và $\cot \alpha$.

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ để nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục Ox nên $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$.

Hai điểm M và N nằm cùng phía đối với trục Oy nên $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$.

b) Sử dụng kết quả từ ý a), ta có:

$\tan (-\alpha )=\frac{\sin (-\alpha )}{\cos (-\alpha )}=\frac{-\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\tan \alpha$.

Từ đó, suy ra:

$\cot (-\alpha )=\frac{1}{\tan (-\alpha )}=\frac{1}{-\tan \alpha }=-\frac{1}{\tan \alpha }=-\cot \alpha$.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 15 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính:

a) $\sin (-{675}^{\circ })$;

b) $\tan \frac{15\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về giá trị lượng giác của góc lượng giác:

$\sin \alpha =\sin (\alpha +k2\pi )$; $\cos \alpha =\cos (\alpha +k2\pi )$; $\tan \alpha =\tan (\alpha +k\pi )$; $\cot \alpha =\cot (\alpha +k\pi )$ với $k\in Z$.

Lời giải chi tiết:

+ $\sin (-{675}^{\circ })=\sin ({45}^{\circ }-{2.360}^{\circ })$

$=\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

+ $\tan \frac{15\pi }{4}=\tan \left(3\pi +\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\tan \left(\pi +\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\tan \left(\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\tan \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$.

VD2

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

$B\left(t\right)=80+7.\sin \frac{\pi t}{12}$,

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Phương pháp giải:

Tính thời gian t.

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

a) $t=6$.

$B\left(6\right)=80+7.\sin \frac{\pi 6}{12}$

$=80+7.\sin \frac{\pi }{2}=87$.

b) $t=10,5$.

$\Rightarrow B(10,5)=80+7.\sin \frac{\pi 10,5}{12}$

$=80+7.\sin \frac{7\pi }{8}=82,67878$.

c) $t=12$.

$\Rightarrow B\left(12\right)=80+7.\sin \frac{\pi 12}{12}$

$=80+7.\sin \pi =80$.

d) $t=20$.

$B\left(20\right)=80+7.\sin \frac{\pi 20}{12}$

$=80+7.\sin \frac{5\pi }{3}=80+7.\sin \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)$

$=80-7.\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=80-7.\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)$

$=80-7.\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{160-7\sqrt{3}}{2}$.