Bài tập cuối chương 1 Toán 11 kết nối tri thức

Bài 1.23 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha  =  - \frac{{5\pi }}{6}\), \(\beta  = \frac{\pi }{3}\), \(\gamma  = \frac{{25\pi }}{3}\), \(\delta  = \frac{{17\pi }}{3}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?      

A. \(\beta \) và \( \gamma \)

B. \(\alpha, \beta, \gamma \)

C. \(\beta ,\gamma ,\delta \)

D. \(\alpha \) và \(\beta \)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\frac{{25\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + 4.2\pi \). Do đó điểm biểu diễn cung lượng giác \(\frac{{25\pi }}{3}\) trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác \(\frac{\pi }{3}\).

Vậy ta chọn đáp án A.

Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Vậy ta chọn đáp án B.

Bài 1.25 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A.                            

B.

C.                            

D.

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Vậy ta chọn đáp án A.

Bài 1.26 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Rút gọn biểu thức , ta được

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 1.27 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định là

B. Hàm số có tập giá trị là [-1; 1]

C. Hàm số là hàm số lẻ

D. Hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Lời giải chi tiết

Ta có: .

TXĐ: .

Tập giá trị: [-1; 1].

Hàm số tuần hoàn với chu kì .

.

Suy ra hàm số là hàm số chẵn.

Vậy ta chọn đáp án C.

Bài 1.28 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Hàm là hàm tuần hoàn với chu kì do :

- Tập xác định là

- Với mọi , ta có và .

Suy ra:

;

.

Đáp án C.

Bài 1.29 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đồ thị của các hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn ?

A. 5

B. 6

C. 4

D. 7

Lời giải chi tiết

Phương trình hoàn độ giao điểm của hai đồ thì hàm số là:

.

Do

.

Mà .

Vậy ta chọn đáp án A.

Bài 1.30 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cos x}{\sin x-1}$ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Hàm số xác định khi:

, .

Vậy ta chọn đáp án B.

Bài 1.31 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$, $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$;     

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$;          

c) $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$;      

d) $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$.

Lời giải chi tiết

${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$

$\iff {\sin }^2\left(\alpha \right)+{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=1$

$\iff {\sin }^2\left(\alpha \right)+\frac{1}{3}=1$

$\iff {\sin }^2\left(\alpha \right)=\frac{2}{3}$

$\iff \sin \left(\alpha \right)=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

(Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \left(\alpha \right)>0$).

Ta có:

a) $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$

$=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{1}{2}$

$=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$.

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$

$=\cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

$=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}$

$=-\frac{3+\sqrt{6}}{6}$.

c) $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$

$=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$.

d) $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$

$=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

$=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}$

$=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}$.

Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=1+\sin 2\alpha$;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 1.33 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là .

Vì

.

Tập giá trị của hàm số là .

b) Tập xác định của hàm số là .

Ta có:

.

Vì nên .

 Tập giá trị của hàm số là .

Bài 1.34 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ;        

b) ;        

c) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

c)

.

Bài 1.35 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

,

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimet thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t)

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Lời giải chi tiết

a) Chu kỳ của hàm số là .

b) Thời gian giữa hai lần tim đập là (phút).

Số nhịp tim mỗi phút là: (nhịp).

c) Ta có: ,

,

,

, .

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

                                            .

Ở đây, và  tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới , hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Lời giải chi tiết

Theo bài ra ta có: , , thay vào ta được:

.

(TM)

.

Mà .

Vạy góc khúc xạ .