Bài 2. Công thức lượng giác Toán 11 kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 17 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Cho và , hãy chứng tỏ .

b) Bằng cách viết và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính .

c) Bằng cách viết và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính .

Phương pháp giải:

Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt.

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: .

.

Vậy .

b) Ta có:

.

c) Ta có:

.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng:

a) ;

b)

.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.

;

.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

.

b) Ta có:

.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức đã được chứng minh trong Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán 11 Tập 1:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

.

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng , trong đó biên độ âm và pha ban đầu của sóng âm là .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: $\sin 2a$; $\cos 2a$; $\tan 2a$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng lượng giác:

$\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$;

$\sin \left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$;

$\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$;

$\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$;

$\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$;

$\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

Lời giải chi tiết:

+) $\sin 2a=\sin \left(a+a\right)$

$=\sin a\cos a+\sin a\cos a$

$=2\sin a\cos a$.

+) $\cos 2a=\cos \left(a+a\right)$

$=\cos a\cos a-\sin a\sin a$

$={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

$={\cos }^{2}a-(1-{\cos }^{2}a)$

$=2{\cos }^{2}a-1$.

Mặt khác $\cos 2a=\cos \left(a+a\right)$

$=\cos a\cos a-\sin a\sin a$

$={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

$=(1-{\sin }^{2}a)-{\sin }^{2}a$

$=1-2{\sin }^{2}a$.

+) $\tan 2a=\tan \left(a+a\right)$

$=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a\tan a}=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Không dùng máy tính, tính $\cos \frac{\pi }{8}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$.

Vì $\cos \frac{\pi }{8}>0$ nên suy ra $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 19 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Từ các công thức cộng $\cos \left(a+b\right)$ và $\cos \left(a-b\right)$, hãy tìm: $\cos a\cos b$, $\sin a\sin b$.

b) Từ các công thức cộng $\sin \left(a+b\right)$ và $\sin \left(a-b\right)$, hãy tìm: $\sin a\cos b$.

Phương pháp giải:

Công thức cộng:

$\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$;

$\sin \left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$;

$\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$;

$\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)$

$=\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$=2\cos a\cos b$.

Vậy $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right]$.

b) Ta có: $\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)$

$=\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b$

$=2\sin a\cos b$.

Vậy $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)\right]$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 19 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

$A=\cos {75}^o\cos {15}^o$;                                                        

$B=\sin \frac{5\pi }{12}\cos \frac{7\pi }{12}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right]$;

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)\right]$.

Lời giải chi tiết:

$A=\cos {75}^o\cos {15}^o$

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left({75}^o-{15}^o\right)+\cos \left({75}^o+{15}^o\right)\right]$

$=\frac{1}{2}.\left(\cos {60}^o+\cos {90}^o\right)$

$=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{1}{4}$.

.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u=a-b,v=a+b$ và viết các công thức nhận được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: .

Suy ra ;

.

Do đó:

;

;

;

.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: .

Vì không dùng máy tính, ta cần đưa các giá trị lượng giác trên về giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã biết.

Lời giải chi tiết:

(do )

(do )

.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp và tần số cao liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm , ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: .

Lời giải chi tiết:

a) Khi nhấn phím 4, ta có sóng âm:

.

b) Ta có:

.