Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết $f\left(x\right)=0\iff g\left(x\right)=0$.

* Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

2. Phương trình $sinx=m$

Phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$. Khi đó:

$sinx=m\iff \sin x=\sin \alpha$

$\iff [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

* Chú ý:

a) Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì:

$\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{c}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in Z\right)$.

b) Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{c}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in Z.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z.\end{array}$

3. Phương trình $\cos x=m$

Phương trình $\cos x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $cos\alpha =m$. Khi đó:

$cosx=m\iff cosx=cos\alpha$

$\iff [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

* Chú ý:

a) Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì:

$\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{c}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in Z\right)$.

b) Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{c}cosx=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z.\\ cosx=1\iff x=k2\pi ,k\in Z.\\ cosx=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in Z.\end{array}$

4. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in R$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in Z$.

* Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in Z$.

5. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in R$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in Z$.

* Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in Z$.

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$.

 

B. Bài tập

1. Giải phương trình:

a) $\sin x=-\frac{1}{2}$;

b) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Giải:

a) Do $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ nên $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ $(k\in Z)$.

b) Do $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}$ $(k\in Z)$.

2. Giải phương trình:

a) $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Giải:

a) Do $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\cos x=\cos \frac{\pi }{6}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ $(k\in Z)$.

b) Do $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos x=\cos \frac{3\pi }{4}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}$ $(k\in Z)$.

3. Giải phương trình:

a) $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$;

b) $\tan x=-1$.

Giải:

a) Do $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6}\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ $(k\in Z)$.

b) Do $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ nên $\tan x=-1$

$\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ $(k\in Z)$.

4. Giải phương trình:

a) $\cot x=-\sqrt{3}$;

b) $\cot 2x=-\sqrt{3}$.

Giải:

a) Do $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$ nên $\cot x=-\sqrt{3}$

$\iff \cot x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$ $(k\in Z)$.

b) Do $\cot \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$ nên $\cot 2x=-\sqrt{3}$

$\iff \cot 2x=\cot \frac{5\pi }{6}\iff 2x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=\frac{5\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}$ $(k\in Z)$.

Giải câu hỏi mở đầu trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn $v_0$ không đổi. Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình bên. Khi đó, trong Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình (với $g$ là gia tốc trọng trường) $y=-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Cho $y=0$ ta được $-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$, suy ra $x=0$ hoặc .

Quả đạn chạm đất khi .

Ta có , dấu bằng xảy ra khi .

Giải phương trình , ta được .

Giải mục 1 trang 31, 32 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 32, 33, 34 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 34, 35 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 4 trang 36 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 5 trang 37 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 6 trang 38 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 38 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc , biết:

a) ;

b) ;

c) .

Lời giải chi tiết

a)

hay rad.

b) 

hay rad.

c) 

hay rad.

Bài 1.19 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ;               

b) ;                  

c) ;          

d) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Bài 1.20 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

  .

Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu m/s hợp với phương ngang một góc . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình , ở đó là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

b) Tìm góc bắn để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đạt khẩu pháo 22 000 m.

Lời giải chi tiết

a) Thay g = 9,8 và vào phương trình ta được:

.

Khi đó y = 0 suy ra x = 0 hoặc .

Theo góc bắn tầm xa mà quả đạn đạt tới là .

b) Quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 (m).

Khi đó

.

(Bấm máy tính để tìm giá trị sấp xỉ của ).

Bài 1.22 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\). Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Lời giải chi tiết

Vật đi qua vị trí cân bằng thì x = 0.

Khi đó \(2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow t =   \frac{2\pi }{15} +  \frac{{k\pi }}{5}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Do khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây nên \(t \in \left[ {0;6} \right]\).

\(0 \le \ \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le \ 6\)

\(\Rightarrow  \frac{-2 }{3}\le \ k \le \ \frac{90 - 2\pi}{3\pi}\)

\(\Rightarrow -0,67 \le \ k \le 8,88\).

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.