Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Kết nối tri thức

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax + by = c\),       (1) trong đó a, b và c là các số đã biết (\(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\)).

Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) ta có \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 =  - 2 + 6 = 4\).

Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì

\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó là nghiệm chung của hai phương trình của hệ (*).

Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:

\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Giải mục 1 trang 6, 7, 8 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 9 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.1 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn, vì sao?

a)

b)

c)

d)

Lời giải chi tiết

a) là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng và thỏa mãn điều kiện hoặc

b)  là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng và thỏa mãn điều kiện hoặc

c) không là phương trình bậc nhất vì phương trình có hệ số không thỏa mãn điều kiện hoặc

d)  là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng và thỏa mãn điều kiện hoặc

Giải bài tập 1.2 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

a)     Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu “?” trong bảng sau rồi cho biết 6 nghiệm của phương trình \(2x - y = 1:\)

b)    Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết

a)      

Các cặp nghiệm của phương trình \(y = 2x - 1\) là: \(\left( { - 1; - 3} \right);\left( { - 0,5; - 2} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( {0,5;0} \right);\left( {1;1} \right);\left( {2;3} \right).\)

b)    Ta có: \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) nên cặp số \(\left( {x;2x - 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là nghiệm tổng quát của phương trình \(2x - y = 1.\)

Giải bài tập 1.3 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) \(2x - y = 3;\)

b) \(0x + 2y =  - 4;\)

c) \(3x + 0y = 5.\)

Lời giải chi tiết

a)     \(2x - y = 3\)

Ta có \(y = 2x - 3\) nên mỗi cặp số \(\left( {x;2x - 3} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(2x - y = 3.\)

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(2x - y = 3\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 3 \Rightarrow A\left( {0; - 3} \right)\)

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)

Đường thẳng \(2x - y = 3\) đi qua hai điểm A và B

b)    \(0x + 2y =  - 4\)

Ta có \(0x + 2y =  - 4 \Rightarrow y =  - 2\) nên mỗi cặp số \(\left( {x; - 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(0x + 2y =  - 4\)

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;-2). Ta gọi đó là đường thẳng y = -2

c)     \(3x + 0y = 5\)

Ta có \(3x + 0y = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) nên mỗi cặp số \(\left( {\frac{5}{3};y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(3x + 0y = 5\)

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm (\(\frac{5}{3}\); 0). Ta gọi đó là đường thẳng x = \(\frac{5}{3}\)

 

Giải bài tập 1.4 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x =  - 6\\5x + 4y = 1\end{array} \right.\) có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không, vì sao?

b) Cặp số \(\left( { - 3;4} \right)\) có là một nghiệm của hệ phương trình đó hay không, vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Hệ phương trình đã cho là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(2x =  - 6\) và \(5x + 4y = 1\) là hai phương trình bậc nhất 2 ẩn thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

b) Thay \(\left( { - 3;4} \right)\) vào hệ phương trình ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3} \right) =  - 6\\5.\left( { - 3} \right) + 4.4 = 1\end{array} \right.\) (luôn đúng)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Giải bài tập 1.5 trang 10 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho các cặp số và hai phương trình

Trong các cặp số đã cho:

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b.

Lời giải chi tiết

a) Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay vào phương trình (1) ta có:   (luôn đúng)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là và

b)    Vì , và không là nghiệm của phương trình (1) nên cũng không là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2).

Thay vào phương trình (2) ta có: .

Thay vào phương trình (2) ta có: (luôn đúng).

Vậy là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2).

c)     Đường thẳng

Cho thì , ta được điểm

thì , ta được điểm

Đường thẳng đi qua điểm A và B

Đường thẳng

Cho thì , ta được điểm

thì , ta được điểm

Đường thẳng  đi qua điểm C và D

Ta có điểm là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng nên là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2)