Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán 9 Kết nối tri thức

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình: - Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số; - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( \(x,y > 0;x > y\) và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 60\\3x - 3y = 60\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 180\\3x - 3y = 60\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 20\end{array} \right.\)

(\(x = 40;y = 20\) thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc \(40\;(km/h)\), xe đi chậm có vận tốc \(20\;(km/h)\).

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho (\(x \in \mathbb{N}\),\(0 < x \le 9\) ,\(0 \le x \le 9\))

Khi đó hai số có dạng \(\overline {xy}  = 10x + y\) và \(\overline {yx}  = 10y + x.\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\10y + x - 18 = 10x + y\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\x - y = 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right.\)

Vậy số cần tìm là 57.

Giải câu hỏi trang 21, 22, 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.15 trang 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 12, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn n là 36 đơn vị.

Lời giải chi tiết

Gọi chữ số n cần tìm có dạng

Tổng của hai chữ số đó bằng 12 nên ta có phương trình

Hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta được số mới có dạng

Ta được số mới lớn hơn số đã cho là 36 đơn vị nên ta có phương trình

Nên suy ra hay

Từ đó ta có hệ phương trình

Cộng từng vế của hai phương trình ta có hay nên

Thay vào phương trình thứ nhất ta có nên

Vậy số n cần tìm là 48.

Giải bài tập 1.16 trang 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi lại trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu “?”):

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Lời giải chi tiết

Gọi số lần bắn đạt 8 điểm là x (lần), số lần bắn đạt 6 điểm là y (lần) $\left(x,y\in N\right)$

Tổng số lần bắn là 100 lần nên ta có phương trình $25+42+x+15+y=100$ hay $x+y=18.$

Điểm trung bình của 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

hay

Từ đó ta có hệ phương trình hay

Cách 1. Sử dụng phương pháp cộng đại số

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được nên ta có hệ phương trình

Trừ từng vế của hai phương trình ta được hay nên

Với thay vào phương trình đầu ta được

Cách 2. Sử dụng phương pháp thế

Từ phương trình ta có

Thế vào phương trình ta được:

Với thay vào phương trình đầu ta được 

Vậy ta có bảng

Giải bài tập 1.17 trang 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Hãy dùng máy tính cầm tay kiểm tra lại kết quả thu được.

Lời giải chi tiết

Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được (tấn thóc)

Đội thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được (tấn thóc)

Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình

Từ đó ta có hệ phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 1,15, ta được hệ phương trình: 

Trừ từng vế của phương trình trên cho phương trình dưới ta được: suy ra

Thay  vào (1), ta được: suy ra

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được tấn thóc.

Năm nay đội thứ hai thu hoạch được tấn thóc.

Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình , ta được:

Vậy lời giải đúng.

Giải bài tập 1.18 trang 23 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công viêc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải chi tiết

Gọi thời gian hoàn thành công việc của hai người thợ lần lượt là x,y (giờ)

1 giờ người thợ thứ nhất làm được công việc

1 giờ người thứ hai làm được công việc

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được (công việc).

Nên ta có phương trình

Người thứ nhất làm trong 3 giờ làm được công việc

Người thứ hai làm trong 6 giờ làm được công việc

Thì cả hai người hoàn thành được công việc nên ta có phương trình

Từ đó ta có hệ phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được từ đó ta có hệ phương trình

Trừ từng vế của hai phương trình ta có hay nên

Thay vào phương trình đầu ta có

Vậy người thứ nhất cần làm trong 24 giờ, người thứ hai cần làm trong 48 giờ thì xong công việc.