Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá tị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Phương pháp giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có ta thay vào phương trình thứ 2 ta được từ đó ta giải được

b) Thay vào phương trình thứ nhất, ta giải được y rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

1. Ta có suy ra thay vào phương trình ta được:

2. Với suy ra Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)

b)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

a) Từ phương trình ta có

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được hay suy ra Từ đó

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b) Từ phương trình ta có

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được hay suy ra Từ đó

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

Ta có hay , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

(vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

Ta có hay (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

(luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm với tùy ý.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Phương pháp giải:

Tình huống mở đầu: Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây bắp cải. Hãy tính số cây bắp cải trồng được trên mảnh vườn đó, biết rằng:

- Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây;

- Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Ba yếu tố ta cần quan tâm trong bài này là số luống (x) , số cây bắp cải trong 1 luống (y) , và tổng số bắp cải trồng được trong vườn và mối liên hệ giữa chúng (tổng số cây bắp cải trong vườn = số luống x số cây bắp cải trong một luống 

Lời giải chi tiết:

a) Số cây cải trồng trong vườn là

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là ; số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là , số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có suy ra

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là , nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có suy ra

Nên ta có hệ phương trình

b) Ta có suy ra thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được suy ra nên

Với nên

Vậy số cây bắp cải trồng được trên mảnh vườn đó là: 60.12 = 720 cây.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hệ phương trình Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối của nhau (tổng của chúng bằng 0) . Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Phương pháp giải:

a) Để cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta cần lấy vế trái của phương trình đầu cộng với vế trái của phương trình thứ hai bằng vế phải của phương trình đầu cộng với vế phải của phương trình thứ hai, tức là: sau đó ta giải được

b) Thay vào phương trình thứ 2, ta được , từ đó ta giải được y và kết luận nghiệm. 

Lời giải chi tiết:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

2. Với thay vào phương trình thứ hai ta có: nên

Vậy là nghiệm của hệ phương trình. 

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

b)

Phương pháp giải:

Nếu hệ số của cùng 1 ẩn ở trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau thì ta làm như sau:

-  Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chứa một ẩn.

-  Giải phương trình một ẩn cừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được suy ra

Thế vào phương trình đầu ta được nên suy ra

Vậy là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được nên suy ra

Thế vào phương trình số hai ta được nên suy ra

Vậy là nghiệm của hệ phương trình. 

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 

Phương pháp giải:

Nếu hệ số của cùng 1 ẩn ở trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau thì ta làm như sau:

-  Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chứa một ẩn.

-  Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình.

Trong trường hợp hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng 1 ẩn bằng nhau hoặc đối nhau thì ta có thể nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp khác 0. 

Lời giải chi tiết:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 5, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 4 ta được:

Cộng từng vế của hai phương trình ta có nên suy ra

Thế vào phương trình thứ nhất ta được nên suy ra

Vậy nghiệm của hệ phương trình là . 

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình

Phương pháp giải:

Nếu hệ số của cùng 1 ẩn ở trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau thì ta làm như sau:

-  Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chứa một ẩn.

-  Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình.

Trong trường hợp hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng 1 ẩn bằng nhau hoặc đối nhau thì ta có thể nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp khác 0. 

Lời giải chi tiết:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được nên hệ phương trình đã cho trở thành

Trừ từng vế của hai phương trình ta được suy ra (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

TH

Trả lời câu hỏi Thực hành trang 15 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)

b)

c)

Phương pháp giải:

Để tìm nghiệm của hệ phương trình ta cần đưa phương trình đề bài đã cho về dạng

Như ở ý c, ta cần đưa hệ trở thành

Sau đó nhập MODE 5 1

Sau đó nhập các số bằng cách nhấn:

8 = -2 = 6 = 4 = -1 = 3 =

Đọc kết quả, màn hình cho “Infinite Sol” nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Chú ý: Nếu kết quả ra thì nghiệm của hệ phương trình là

Nếu kết quả báo “No- Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

Lời giải chi tiết:

a)

Bấm máy tính ta được kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

b)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c)

Ta cần đưa hệ trở thành

Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 16 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililit dung dịch HCl nồng độ 20%, y là số mililit dung dịch HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

- Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

- Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch HCl ở trên. 

Phương pháp giải:

Đối với bài toán này ta cần nhớ cách đổi đơn vị,

Tổng thể tích hai dung dịch ban đầu là thể tích của dung dịch cuối cùng ta thu được nên ta có

* Chuyển đổi Nồng độ % sang nồng độ mol:

Với D là khối lượng riêng của dung dịch

M là khối lượng mol

Lời giải chi tiết:

Khối lượng riêng của dung dịch HCl là

Đổi 2l = 2000ml

a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là 2 lít nên ta có phương trình:

Số ml dung dịch HCl nồng độ 20% nguyên chất là:

Khối lượng dung dịch HCl 20% nguyên chất là:

Số ml dung dịch HCl 5% nguyên chất là:

Khối lượng dung dịch HCl 5% nguyên chất là:

Tổng số gam HCl nguyên chất sau pha là:

(gam)

Trong 2 lít dung dịch HCl 10% có khối lượng HCl nguyên chất là:

Ta có phương trình: 

hay 

b) Từ câu a ta có hệ phương trình  

Từ phương trình đầu ta có thay vào phương trình thứ hai ta được

Thế vào phương trình thứ nhất ta được

Vậy cần lấy dung dịch HCl 20% và dung dịch HCl 5%.