Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Khái niệm mở đầu

 

Hình ảnh về mặt phẳng

- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

 

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

VD: Mặt phẳng (P), mặt phẳng (\(\alpha \)).

- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu \(A \in (P)\), điểm B không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu \(B \notin (P)\). Nếu \(A \in (P)\) ta còn nói A nằm trên (P) hoặc (P) chứa A hoặc (P) đi qua A.

* Quy tắc biểu diễn hình:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu \(d \subset (P)\) hoặc \((P) \supset d\).

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là \(d = (P) \cap (Q)\).

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

3. Xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

4. Hình chóp và hình tứ diện

Cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) để được n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm n tam giác  \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) và đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là hình chóp và kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).

Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\) điểm S được gọi là đỉnh và đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là mặt đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là các mặt bên; các cạnh \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\) được gọi là cạnh bên; các cạnh \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3}...,{A_n}{A_1}\) được gọi là các cạnh đáy.

VD: Hình chóp tứ giác S.ABCD.

 

Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.

 

Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD, AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.

Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Giải mục 1 trang 71 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 72, 73, 74 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 74, 75 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 4 trang 75, 76 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 4.1 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai đường thẳng a,b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).

Lời giải chi tiết

a) Sai vì nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a cũng có thể cắt (P).

d) Sai vì b có thể cắt (P) chứ không nhất thiết nằm trong (P).

Đáp án: b), c).

Bài 4.2 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S.

a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?

b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

Lời giải chi tiết

a) D thuộc SA, mà SA thuộc (SAB) nên D thuộc (SAB).

E thuộc SB, mà SB thuộc (SAB) nên E thuộc (SAB).

Vậy đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng (SAB).

b) F thuộc AB suy ra F nằm trong (SAB).

F thuộc DE suy ra F nằm trong (CDE).

Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

Bài 4.3 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b taij hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B.

Ta có A thuộc a mà a nằm trong mp(P) suy ra A cũng nằm trong mp(P).

B thuộc b mà b nằm trong mp(P) suy ra B cũng nằm trong mp(P).

Suy ra đường thẳng AB cũng nằm trong mp(P) tức c cũng nằm trong mp(P).

Bài 4.4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Lời giải chi tiết

Ta có N thuộc đường thẳng AB, mà AB nằm trong mặt phẳng (ABM) nên N cũng nằm trong mặt phẳng (ABM).

M và N đều nằm trong mặt phẳng (ABM) nên MN nằm trong mặt phẳng (ABM) (1)

M thuộc SC suy ra M nằm trong mặt phẳng (SCD), N thuộc đường thẳng CD nên N nằm trong mặt phẳng (SCD).

Do đó, MN nằm trong mặt phẳng (SCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Bài 4.5 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A).Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thằng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp (E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp (E, d) với các mặt của hình chóp.

Lời giải chi tiết

a) Vì P, Q thuộc MN nên P, Q cũng thuộc (E, d).

Xét (SAB) chứa E, P: Gọi EP cắt SB tại I. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in SB\\I \in EP \subset (E,d)\end{array} \right.\)

Suy ra I là giao điểm của SB và (E, d).

Xét (SAD) chứa E, Q: Gọi EQ cắt SD tại F. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SD\\F \in EQ \subset (E,d)\end{array} \right.\)

Suy ra F là giao điểm của SD và (E, d).

b) EF cùng thuộc (SAD) và (E, d) nên là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

FN cùng thuộc (SCD) và (E, d) nên là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

MN cùng thuộc (ABCD) và (E, d) nên là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

MI cùng thuộc (SBC) và (E, d) nên là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

IE cùng thuộc (SAB) và (E, d) nên là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Bài 4.6 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Lời giải chi tiết

a) Xét trên mặt phẳng (BCD): NP cắt CD tại I.

I thuộc NP suy ra I nằm trên mặt phẳng (MNP).

Suy ra giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP) là I.

b) Ta có I, M đều thuộc mặt phẳng (ACD) suy ra IM nằm trên mặt phẳng (ACD).

I, M đều thuộc mặt phẳng (MNP) suy ra IM nằm trên mặt phẳng (MNP).

Do đó, IM là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (MNP).

Cách trình bày khác:

a) Xét trong mặt phẳng (BCD), gọi .

.

b) Ta có:

.

Mặt khác, nên .

Bài 4.7 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao?

Lời giải chi tiết

Việc bưng ít nhất 3 ngón tay sẽ tạo thành mặt phẳng cố định chứa mặt khay giúp cố định khay trong quá trình di chuyển.

Bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo – copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Lời giải chi tiết

Ta có: mặt phẳng chứa phần bàn và mặt phẳng chứa dao cắt, đường cắt chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên đường cắt luôn là đường thẳng.