Bài tập cuối chương 4 Toán 11 kết nối tri thức

Bài 4.35 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b là:

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Bài 4.36 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng

A. (CDM)

B. (ACM)

C. (ADM)

D. (ACD)

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của BD.

Xét tam giác SBD có OM là đường trung bình nên OM // SB.

Mà OM thuộc mặt phẳng (MAC), SB không thuộc (MAC).

Vậy SB // (MAC).

Chọn B

Bài 4.37 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng

A. (ABCD)

B. (BCC’B’)

C. (BDA’)

D. (BDC’)

Lời giải chi tiết

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.

Tứ giác BDD'B' có DD' // BB' và DD' = BB' nên BDD'B' là hình bình hành, suy ra B'D' // BD. Do đó, B'D' song song với mặt phẳng (BDC').

Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'B' // C'D' và A'B' = C'D'.

Vì ABB'A' là hình bình hành nên A'B' // AB và A'B' = AB.

Do đó, AB // C'D' và AB = C'D', suy ra tứ giác ABC'D' là hình bình hành nên BC' // AD'. Do vậy AD' song song với mặt phẳng (BDC').

Mặt phẳng (AB'D') chứa hai đường thẳng cắt nhau B'D' và AD' cùng song song với mặt phẳng (BDC') nên hai mặt phẳng (AB'D') và (BDC') song song với nhau.

Đáp án: D

Bài 4.38 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C sao cho và đường thẳng b cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Tỉ số bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lý Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến a và b ta có:

.

Đáp án: A

Bài 4.39 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{2}{3}\)

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi P là trung điểm MN.

Ta có MN là đường trung bình tam giác SBD.

Suy ra S, P, O thẳng hàng và P là trung điểm của SO.

Do đó P thuộc SO hay P thuộc mp(SAC).

Trong mp(SAC), nối AP kéo dài cắt SC tại K.

Suy ra K là giao điểm của SC và mp(AMN).

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SOC:

\(\frac{{KS}}{{KC}} . \frac{{CA}}{{AO}} .\frac{{OP}}{{PS}} = 1\) suy ra \(\frac{{KS}}{{KC}} . \frac{2}{1} . 1 = 1\) suy ra \(\frac{{KS}}{{KC}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án: B

Bài 4.40 trang 102 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’. Hình chiếu của qua phép chiếu song song trên (A’B’C’D’) theo phương chiếu AA’ là

A.                  

B.                  

C.                  

D.

Lời giải chi tiết

B' thuộc (A'B'C'D').

Hình chiếu của của D trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là D'.

Hình chiếu của của M trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là M'.

Vậy hình chiếu của  qua phép chiếu song song trên (A’B’C’D’) theo phương chiếu AA’ là .

Đáp án: D

Bài 4.41 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC).

b) (SAB) và (SCD).

c) (SAC) và (SBD).

Lời giải chi tiết

a) Gọi giao điểm của AD và BC là K.

Ta có: SK cùng thuộc (SAD) và (SBC).

Vậy SK là giao tuyến của (SAD) và (SBC).

b) (SAB) và (SCD) có AB // CD và S chung nên giao tuyến là dường thẳng Sx đi qua S và song song với AB và CD.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra O thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD).

Suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

Bài 4.42 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B‘C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C. Tính tỉ số .

Lời giải chi tiết

a) Trong (AA’B’B), gọi .

Mặt khác .

Trong (BB’C’C), gọi .

Ta có

.

Vậy giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C là K.

b) MP là đường trung bình tam giác ABA’ nên MP // A’B hay PD // A’B (1)

ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’ // BB’ hay A’P // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra A’PDB là hình bình hành.

Suy ra .

Mà EN là đường trung bình tam giác KB’D nên ta có:

.

Theo định lí Thales, vì EN // B’D nên .

.

Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó .

Bài 4.43 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$.

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: .

Suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD.

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD.

Xét tam giác SCD ta có: MK // CD suy ra .

b) Xét tam giác SCD ta có: MK // CD suy ra .

Lại có , AB = CD suy ra AN = MK.

Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành.

Do đó MN // AK hay MN // (SAD).

Bài 4.44 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.

a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).

b) Mặt phẳng chứa đường thằng GK và song song với mặt phằng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của SD.

Xét tam giác SAD có G là trọng tâm, suy ra \(\frac{{HG}}{{HA}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SCD có K là trọng tâm, suy ra \(\frac{{HK}}{{HC}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác HAC có \(\frac{{HG}}{{HA}} = \frac{{HK}}{{HC}} = \frac{1}{3}\) suy ra GK // AC (định lí Thales đảo).

Mà \(GK\not{ \subset }(ABCD)\), \(AC \subset (ABCD)\) nên GK // (ABCD).

b) Vì (MNEF) // (ABCD) nên mọi đường thẳng thuộc (MNEF) đều không cắt các đường thẳng thuộc (ABCD).

Suy ra MN không cắt AB. Mà MN, AB cùng thuộc mặt phẳng (SAB). Do đó MN // AB (1).

Chứng minh tương tự, được EF // CD (2).

Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra MN // EF (4).

Chứng minh tương tự, được NE // MF (5).

Từ (4), (5) suy ra MNEF là hình bình hành.                

Bài 4.45 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, A’B‘. Chứng minh rằng:

a) BD // B'D', (A'BD) // (CB’D’) và MN // (BDD'B').

b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’)

$\left(B^{\prime }{D}^{\prime }DB\right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)=B^{\prime }{D}^{\prime },$

$\left(B^{\prime }{D}^{\prime }DB\right)\cap \left(ABCD\right)=BD$.

Suy ra B'D' // DB.

Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD'.

Suy ra (A'BD) // (CB'D').

Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO.

Suy ra B'NMO là hình bình hành.

Suy ra B'O // MN hay MN // (BDD'B').

b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO.

Suy ra A'G = 2GO.

Mà O là trung điểm BD.

Suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD.

Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

Bài 4.46 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.

b) Tính tỉ số .

Lời giải chi tiết

a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD.

mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

Suy ra mp(P) chứa MH và MI.

Ta có: 

MH//BC.

Suy ra, giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH.

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD).

Vậy giao điểm của (P) và CD là K.

b) Ta có: 

MI // AD, HK //MI.

Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK.

Suy ra MHKI là hình bình hành MH = KI.

Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM.

Suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI.

Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra .