Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Lý thuyết Hai đường thẳng song song - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng a, b trong không gian.
- Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
- Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b hoặc b chéo với a.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
* Chú ý: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
VD: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sm\).
Giải câu hỏi mở đầu trang 78 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Để giải quyết vấn đề tắc đường ở các thành phố lớn, có rất nhiều giải pháp được đưa ra. Trong đó giải pháp xây dựng các hệ thống cầu vượt, đường hoặc đường sắt trên cao đã và đang được đưa vào thực tế ở Việt Nam. Toán học mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến đường trên như thế nào?
Lời giải chi tiết
Toán học mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến đường trên như những vị trí tương đối của đường thẳng trong không gian.
Giải mục 1 trang 78, 79, 80 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
HĐ1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 78 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Hình 4.13 minh hoạ bốn tuyến đường (được coi là thẳng) tại một nút giao ở Hà Nội.
Quan sát hình ảnh đó và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hai tuyến đường nào giao nhau?
b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?
c) Hai tuyến đường nào song song?
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung.
- Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau.
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a) Hai tuyến đường giao nhau: Tuyến màu cam và màu xanh dương, tuyến màu cam và màu đỏ.
b) Hai tuyến đường không giao nhau: Tuyến màu xanh lá và tuyến màu xanh dương, tuyến màu xanh lá và tuyến màu đỏ, tuyến màu xanh lá và tuyến màu cam, tuyến màu xanh dương và tuyến màu đỏ.
c) Hai tuyến đường song song: Tuyến màu xanh dương và tuyến màu đỏ, tuyến màu xanh lá là tuyến màu cam.
CH
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 79 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn.
Phương pháp giải:
Tìm kiếm trên mạng hoặc quan sát thực tế.
Lời giải chi tiết:
Hình ảnh về hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn:
LT1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 79 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17).
a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung.
- Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau.
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a) Hai đường thẳng cắt nhau: AB và AC, AC và CD.
Hai đường thẳng song song: AB và CD.
b) M và N lần lượt thuộc hai cạnh SA và SB suy ra M và N cũng thuộc mp(SAB).
Do đó các đường thẳng SA, AF, MN cùng nằm trên mặt phẳng (SAB) nên chúng không chéo nhau.
LT2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 80 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Trong hình chóp tứ giác S.ACBD (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:
a) Chéo với đường thẳng SA.
b) Chéo với đường thẳng BC.
Phương pháp giải:
Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng chéo với SA: CD, CB.
b) Đường thẳng chéo với BC: SA, SD.
VD1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 80 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
Chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn với mép tường tạo thành hai đường thẳng chéo nhau nên không thể song song.
Giải mục 2 trang 80, 81, 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
HĐ2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 80 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên d (H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.
a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với d?
b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) hay không?
Phương pháp giải:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên dường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Có duy nhất một đường thẳng đi qua M song song với d.
b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) vì hai đường thẳng song song đồng phẳng.
HĐ3
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 80 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?
Phương pháp giải:
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng song song với mép trên của bảng: Mép dưới của bảng, chân tường bục giảng.
Hai đường thẳng đó cũng song song với nhau.
LT3
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 81 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình hành.
Phương pháp giải:
Để chứng minh bốn điểm: C, D, E, F đồng phẳng ta có thể chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song.
Dựa vào dấu hiệu tứ giác là hình bình hành để chứng minh CDEF là hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Xét hình bình hành ABCD ta có: AB // CD, AB = CD.
Xét hình bình hành ABEF ta có: AB // EF, AB = EF.
Suy ra EF // CD, EF = CD.
Suy ra CDEF là hình bình hành và C, D, E, F đồng phẳng.
HĐ4
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 81 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo các giao tuyến a và b khác c.
a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.
b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.
Phương pháp giải:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau, theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) M thuộc c suy ra M nằm trên mp(Q).
M thuộc a suy ra M nằm trên mp(R).
M cùng thuộc mp(R) và (Q) suy ra M nằm trên giao tuyến của mp(R) và (Q).
Như vậy, M thuộc b.
b) Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b, c đôi một đồng phẳng.
Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì a, b, c đôi một song song.
Vậy nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c song song với nhau.
LT4
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 82 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
(Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành).
Phương pháp giải:
Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Lời giải chi tiết:
Hai mp(SAD) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AD và BC.
Do đó, giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC) là đường thẳng n đi qua S song cong với AD và BC.
VD2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 82 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Một bề kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD của bề nước.
Phương pháp giải:
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi K, I là các điểm như hình vẽ.
Vì CDIK là hình chữ nhật nên CD // IK.
.
Bài 4.9 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song.
b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.
d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung.
- Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau.
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết
a) Sai. Vì nếu a và b không cắt nhau thì a và b có thể song song hoặc chéo nhau.
b) Đúng.
c) Sai. Vì a có thể trùng b.
d) Sai. Vì a và c có thể chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.
Bài 4.10 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
a) AB và CD;
b) AC và BD;
c) SB và CD.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung.
- Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau.
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết
a) AB và CD song song với nhau.
b) AC và BD cắt nhau.
c) SB và CD chéo nhau.
Bài 4.11 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình bình hành khi có 2 cặp cạnh tương ứng song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN // AB.
Tương tự ta có: NP // BC, PQ // CD, MQ // AD.
Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // CB, suy ra MN // PQ, MQ // NP.
Như vậy, MNPQ là hình bình hành.
Bài 4.12 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh tứ giác là hình thang, ta chứng minh 1 cặp cạnh song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác SAB ta có MN là đường trung bình suy ra MN // AB.
Mà AB // CD do đó MN // CD.
Suy ra MNCD là hình thang.
Bài 4.13 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28)
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).
b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng đó.
Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Lời giải chi tiết
a) (MAB) và (SCD) có điểm M chung và chứa hai đường thẳng thẳng song song là AB và CD.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng a đi qua M và song song với CD, AB.
b, Do MN // CD và M là trung điểm của SD.
Suy ra, MN là đường trung bình của tam giác SCD.
Bài 4.14 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.
a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).
b) Chứng minh rằng d song song với BD.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Lời giải chi tiết
a) Gọi giao điểm của AM và BP là I, giao điểm của AN và DP là K.
Ta có IK đều thuộc mặt phẳng (AMN) và (BPD) suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K.
b) Ta có: .
;
.
Mà MN // BD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD) suy ra IK // BD.
Như vây, d song song với BD.
Bài 4.15 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài
(Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao?
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí về ba đường giao tuyến.
Lời giải chi tiết
+) Mỗi cánh cửa ở Hình 4.29 đều có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của mỗi cánh cửa song song với nhau.
Khi đó ta có a // b và c // d.
Lại có các đường thẳng a và d là đường thẳng giao tuyến giữa khung cửa và cánh cửa nên a // d.
Do vậy, bốn đường thẳng a, b, c, d luôn đôi một song song với nhau.
Vậy khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.
+) Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.
Thật vậy, giả sử có một vị trí của hai cánh cửa mà hai mép ngoài của chúng song song với nhau. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng cánh cửa thì d song song với hai mép cửa. Mặt khác d cũng song song với hai bản lề (vì hai mặt phẳng cánh cửa lần lượt “chứa” hai bản lề), suy ra hai mép cửa song song với bản lề. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó không có hai vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 11
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau đây, cặp đường thẳng nào song song với nhau?Bài học cùng chuyên đề: Chương 4 Quan hệ song song trong không gian
Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán 11 kết nối tri thức
Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Bài 13. Hai mặt phẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Bài 14. Phép chiếu song song Toán 11 kết nối tri thức
Bài tập cuối chương 4 Toán 11 kết nối tri thức
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 11
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 11 Lớp LOP11
Sau khi học xong "Bài 11. Hai đường thẳng song song Toán 11 kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!