Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán 11 kết nối tri thức

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song- SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Nếu d và \(\left( \alpha  \right)\) không có điểm chung thì ta nói d song song với \(\left( \alpha  \right)\) hay \(\left( \alpha  \right)\) song song với d. Kí hiệu là \(d//\left( \alpha  \right)\) hay \(\left( \alpha  \right)//d\).

* Nhận xét:

Nếu d và \(\left( \alpha  \right)\) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và \(\left( \alpha  \right)\) cắt nhau tại M. Kí hiệu \(d \cap \left( \alpha  \right) = M\) hay \(d \cap \left( \alpha  \right) = \left\{ M \right\}\).

Nếu d và \(\left( \alpha  \right)\) có nhiều hơn 1 điểm chung thì ta nói d nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) hay \(\left( \alpha  \right)\) chứa d. Kí hiệu \(d \subset \left( \alpha  \right)\) hay \(\left( \alpha  \right) \supset d\).

 

2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a // (P).

 

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b // a.

Giải câu hỏi mở đầu trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?

Lời giải chi tiết

Dây nhợ được cang dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn, lúc này dây nhợ sẽ là một đường thẳng song song với mặt đất. Khi người thợ tiếp tục xây các viên gạch tiếp theo theo dây nhợ thì hàng gạch tiếp theo sẽ thẳng hàng và bằng, đảm bảo độ thẳng đứng và bằng phẳng cho tường được xây ra.

Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất là các đường thẳng song song với mặt phẳng.

Giải mục 1 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 4.16 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a và (P) có điểm chung thì a không song song với (P).

b) Nếu a và (P) có điểm chung thì a và (P) cắt nhau.

c) Nếu a song song với b và b nằm trong (P) thì a song song với (P).

d) Nếu a và b song song với (P) thì a song song với b.

Lời giải chi tiết

a) Đúng.

b) Sai. a có thể thuộc mp(P) nếu có nhiều hơn 1 điểm chung.

c) Sai. Vì a có thể thuộc (P). Để mệnh đề đúng phải thêm điều kiện a không thuộc (P).

d) Sai. Vì khi a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bài 4.17 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD

a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.

b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.

Lời giải chi tiết

a) Ta có AM cắt (BCD) tại C suy ra AM không song song với (BCD).

b) M, N là trung điểm của AC, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD suy ra MN // CD.

Mà CD thuộc (BCD) nên MN // mp(BCD).

Bài 4.18 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).

Lời giải chi tiết

M, N là trung điểm của BC, CD, suy ra MN // BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \not\subset (AMN)\\MN \subset (AMN)\\BD//MN\end{array} \right. \Rightarrow BD//(AMN)\).

Bài 4.19 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAD) theo giao tuyến song song với AD. Vẽ EG // AD (G thuộc SD) thì EG là giao tuyến của (P) và (SAD).

Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAB) theo giao tuyến song song với AB. Vẽ EF // AB (F thuộc SB) thì EF là giao tuyến của (P) và (SAB).

Ta có .

Mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến song song với CD. Vẽ GH // CD (H thuộc SC) thì GH là giao tuyến của (P) và (SCD).

FH thuộc (P), FH thuộc (SBC) suy ra FH là giao tuyến của (P) và (SBC).

Tứ giác EFHG có EF // GH (vì cùng song song với CD) suy ra EFHG là hình thang.

Bài 4.20 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.

Lời giải chi tiết

Ta có: Mép trên của cửa luôn song song với mép dưới của cửa.

Và khi cửa được mở ra , dù được mở ở vị trí nào thì mép dưới của cửa cũng thuộc mặt sàn. Vì vậy mép trên của cửa luôn song song với mặt phẳng sàn cố định.