Bài 11. Ước chung. Ước chung lớn nhất

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

I. Ước chung

1. Định nghĩa

+ Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

2. Kí hiệu

+ ƯC\(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp các ước chung của \(a\) và \(b\).

3. Cách tìm ước chung

a) Tìm ước chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

Ví dụ: Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;2;4;8} \right\}\); Ư\(\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)

Nên ƯC\(\left( {8;12} \right) = \left\{ {1;2;4} \right\}\)

b) Tìm ước chung của ba số a, b và c

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a, của b và của c: Ư(a), Ư(b), Ư(c)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a), Ư(b) và Ư(c).

Nhận xét:

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a,b} \right)\) nếu \(a \vdots x\) và \(b \vdots x.\)

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a,b,c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)

Ví dụ: Ư\(\left( 8 \right) \cap \) Ư\(\left( {12} \right) = \)ƯC\(\left( {8;12} \right)\).

II. Ước chung lớn nhất

1. Định nghĩa

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Nếu ước chung lớn nhất của hai số a và b bằng 1 thì ta nói, a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

2. Kí hiệu

+) ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\) là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\).

+) ƯC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp còn ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\) là một số.

3. Các cách tìm ước chung lớn nhất bằng định nghĩa

a) Cách tìm ƯCLN  trong trường hợp đặc biệt

+) Trong các số cần tìm ƯCLN có số nhỏ nhất là ước của những số còn lại thì số đó là ƯCLN cần tìm:

Nếu \(a \vdots b\) thì ƯCLN \(\left( {a,b} \right) = b\)

+) Số 1 chỉ có 1 ước là 1 nên với mọi số tự nhiên a và b ta có:

ƯCLN\(\left( {a,1} \right)\) =1 và ƯCLN\(\left( {a,b,1} \right)\)=1

b) Cách tìm ƯCLN  của hai số a và b bằng định nghĩa

Bước 1. Tìm tập hợp các ước chung của hai số a và b: ƯC\(\left( {a;b} \right)\)

Bước 2. Tìm số lớn nhất trong các ước chung vừa tìm được: ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ : Tìm ƯCLN (18 , 30)

Ta có :

Ư(18)=\(\left\{ {1;2;3;6;9;18} \right\}\)

Ư(30)=\(\left\{ {1;2;3;5;6;10;15;30} \right\}\)

ƯC(18;30)={1;2;3;6}

Số lớn nhất trong các số 1, 2, 3, 6 là số 6.

Vậy ƯCLN (18, 30)=6

III. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số tự nhiên ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ : Tìm ƯCLN (18 , 30)

Ta có :

Bước 1 : phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

18 =  2.3²

30 = 2.3.5

Bước 2 : Thừa số nguyên tố chung là \(2\) và \(3\)

Bước 3 : ƯCLN\(\left( {18,30} \right) = 2.3 = 6\)

Chú ý:  

+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

2. Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ: ƯCLN\(\left( {18,30} \right) = 2.3 = 6\)

Từ đó ƯC\(\left( {18,30} \right) = \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\)

IV. Ứng dụng trong rút gọn về số tối giản

Ví dụ: Phân số \(\dfrac{9}{{24}}\) tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Ta có: ƯCLN\(\left( {9,24} \right) = 3\) khác 1 nên \(\dfrac{9}{{24}}\) chưa tối giản.

Ta có: \(\dfrac{9}{{24}} = \dfrac{{9:3}}{{24:3}} = \dfrac{3}{8}\). Ta được \(\dfrac{3}{8}\) là phân số tối giản.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

I. Nhận biết và viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số

Phương pháp:

Để nhận biết một số là ước chung của hai số, ta kiểm tra xem hai số đó có chia hết cho số này hay không.

Để viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các ước của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.

II. Bài toán đưa về việc tìm ước chung, ƯCLN của hai hay nhiều số

Phương pháp:

 Phân tích bài toán để đưa về việc tìm ước chung, ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ:

Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài 18 dm và 30 dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt.

Giải

Độ dài lớn nhất các thanh gỗ được cắt chính là ƯCLN của 18 và 30.

Ta có: ƯCLN(18; 30)= 6

Vậy độ dài lớn nhất có thể của các thanh gỗ được cắt là 6 dm.

III. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

+ Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.

+ Tìm các ước của ƯCLN.

+ Chọn trong số đó các ước hoặc các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

Trả lời Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các tập hợp Ư(24) và Ư(28).

Lời giải chi tiết

Ta thấy: 24 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 nên Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ta thấy: 28 chia hết cho các số: 1; 2; 4; 7; 14; 28 nên Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Trả lời Hoạt động 2 trang 44 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi ƯC(24, 28) là tập hợp các số vừa là ước của 24, vừa là ước của 28. Hãy viết tập hợp ƯC(24, 28).

Lời giải chi tiết

Ta thấy các số vừa thuộc tập hợp Ư(24), vừa thuộc tập hợp Ư(28) là 1,2,4.

ƯC(24, 28) = {1; 2; 4}

Trả lời Hoạt động 3 trang 44 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm số lớn nhất trong tập ƯC(24, 28). 

Lời giải chi tiết

Số lớn nhất trong ƯC(24; 28) là 4

Trả lời Câu hỏi trang 45 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm ƯCLN(90, 10).

Lời giải chi tiết

Ư(90) = {1; 2; 3; 5; 9; 10; 18; 30; 45; 90}

Ư(10) = {1; 2; 5; 10}

=> ƯC(90, 10) = {1; 2; 5; 10}

=> ƯCLN(90, 10) = 10

Trả lời Luyện tập 1 trang 45 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bố có 12 quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng màu xanh và bóng màu đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?

Lời giải chi tiết

Ta có: 3 ∈ Ư(12) ; 3 ∈ Ư(15) nên 3 ∈ ƯC(12, 15)

Do đó bố có thể chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau.

Trả lời Vận dụng 1 trang 45 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tuần này lớp 6A và 6B gồm 40 học sinh nữ và 36 học sinh nam được phân công đi thu gom rác làm sạch bờ biển ở địa phương. Nếu chia nhóm sao cho số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì:

a) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh?

b) Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm học sinh?

Lời giải chi tiết

a) Gọi x là số nhóm học sinh chia được ()

Khi đó x ∈ ƯC(36, 40) 

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}

=> x ∈ {1; 2; 4}

Vậy có thể chia được thành 1; 2 hoặc 4 nhóm học sinh

b) Số nhóm chia được nhiều nhất là ƯCLN(36, 40) = 4.

Trả lời Câu hỏi 1 trang 46 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm ƯCLN(45, 150), biết 45 = 3².5 và 150 = 2.3.5².

Lời giải chi tiết

Các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1; của 5 là 1. Do đó

ƯCLN(45, 150) = 3.5 = 15.

Trả lời Câu hỏi 2 trang 46 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết ƯCLN(75, 105) = 15, hãy tìm ƯC(75, 105).

Lời giải chi tiết

ƯC(75, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

Trả lời Luyện tập 2 trang 46 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm ƯCLN(36, 84).

Lời giải chi tiết

36 = 2².3²

84 = 2².3.7

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 36 và 84. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên

ƯCLN(36, 84) = 2².3 = 12

Trả lời Thử thách nhỏ trang 46 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vào ngày thứ Bảy, cô Lan tổ chức cho học sinh đi tham quan Bảo tàng Dân tộc học. Các học sinh đóng tiền mua vé, mỗi em một vé. Số tiền cô Lan thu được từng ngày được ghi lại ở bảng bên.

a) Hỏi số tiền để mua một vé (giá vé được tính theo đơn vị nghìn đồng) có thể là bao nhiêu, biết giá vé lớn hơn 2 000 đồng?

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia chuyến đi, biết số học sinh trong lớp trong khoảng từ 20 đến 40 người?

 

Lời giải chi tiết

a) Gọi giá tiền 1 vé là x (nghìn đồng; x > 2).

Ta có \(x \in \) ƯC(56, 28, 42, 98).

Ta có: 56 = 2³.7; 28 = 2².7; 42 = 2.3.7; 98 = 2.7²

=> ƯCLN(56, 28, 42, 98) = 2.7 =14.

=> ƯC(56, 28, 42, 98) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

Mà x > 2 nên \(x \in \){7; 14}.

Vậy giá tiền 1 vé có thể là 7 000 đồng hoặc 14 000 đồng.

b)

Tổng số tiền cô Lan thu được là: 56 000 + 28 000 + 42 000 + 98 000 = 224 000 đồng

TH1:Giá vé là 7000 đồng thì số học sinh tham gia chuyến đi là: 224 000 : 7 000 = 32 học sinh (thỏa mãn).

TH2: Giá vé là 14000 đồng thì số học sinh tham gia chuyến đi là: 224 000 : 14 000 = 16 học sinh (loại).

Vậy số học sinh tham gia chuyến đi là 32 em.

Trả lời Vận dụng 2 trang 47 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một đại đội bộ binh có ba trung đội trung đội I có 24 chiến sĩ, trung đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

Lời giải chi tiết

Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là ƯCLN(24, 28, 36)

Ta có:

24 = 2³.3

28 = 2².7

36 = 2².3²

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung của 24; 28 và 36. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2nên \(ƯCLN(24, 28, 36) =2^2 = 4\)

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Trả lời Câu hỏi 3 trang 47 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Phân số đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Lời giải chi tiết

Phân số đã cho chưa tối giản vì ƯCLN(16,10) = 2 

.

Trả lời Luyện tập 3 trang 48 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Rút gọn về phân số tối giản: a) ;       b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Thừa số nguyên tố chung là 3 với số mũ nhỏ nhất là 2 nên

b) Ta có:  

Thừa số nguyên tố chung là 5 với số mũ nhỏ nhất là 2 nên  

Giải Bài 2.30 trang 48 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm tập hợp ước chung của:

a) 30 và 45            b) 42 và 70.

Lời giải chi tiết

a) Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

    Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Vậy ƯC(30, 45) = {1; 3; 5; 15}

b) Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

    Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}

Vậy ƯC(42, 70) = {1; 2; 7; 14}.

Giải Bài 2.31 trang 48 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm ƯCLN của hai số:

a) 40 và 70;           b) 55 và 77.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:   40 = 2³.5;    70 = 2.5.7

Vậy ƯCLN(40, 70) = 2.5 = 10

b) Ta có:   55 = 5.11;    77 = 7.11

Vậy ƯCLN(55, 77) = 11.

trithuchub.com

Giải Bài 2.32 trang 48 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm ƯCLN của:

a) 2². 5 và 2. 3. 5

b)  \(2^4. 3;  2^2.3^2. 5\) và \(2^4.11.\)

Lời giải chi tiết

a) 2².5 và 2.3.5

Ta thấy 2 và 5 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 và số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên ƯCLN cần tìm là 2.5 = 10

b) 2⁴.3;  2².3².5 và 2⁴.11

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 nên ƯCLN cần tìm là 2² = 4

trithuchub.com