Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Lý thuyết Bội chung. Bội chung nhỏ nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I. Bội chung

1. Định nghĩa

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

2. Kí hiệu

+ BC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp các bội chung của \(a\) và \(b\).

3. Cách tìm bội chung

a) Tìm bội chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ: \(B\left( 3 \right) = \left\{ {0;3;6;9;12;...} \right\}\); \(B\left( 2 \right) = \left\{ {0;2;4;6;8;10;12;...} \right\}\)

Nên \(BC\left( {2;3} \right) = \left\{ {0;6;12;...} \right\}\)

b) Tìm bội chung của ba số a, b và c

Bước 1: Viết tập hợp các bội của a, của b và của c: B(a), B(b), B(c)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a), B(b) và B(c).

Nhận xét:

+) \(x \in BC\left( {a,b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)

+) \(x \in BC\left( {a,b,c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\)  và \(x \vdots c\)

Chú ý:

+ Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

+ Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.

+ Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B là \(A \cap B\)

Ví dụ:\(B\left( 2 \right) \cap B\left( 3 \right) = BC\left( {2,3} \right)\)

II. Bội chung nhỏ nhất

1. Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó..

2. Kí hiệu

+) \(BCNN\left( {a,b} \right)\) là bội chung nhỏ nhất của \(a\) và \(b\).

+) BC\(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp còn BCNN\(\left( {a,b} \right)\) là một số.

3. Cách tìm bội chung lớn nhất bằng định nghĩa

a) Cách tìm bội chung nhỏ nhất trong các trường hợp đặc biệt

Nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lớn nhất đó.

Nếu \(a \vdots b\) thì \(BCNN\left( {a,b} \right) = a\)

Với mọi số tự nhiên a và b ta có:

\(BCNN\left( {a,1} \right) = a;\)\(BCNN\left( {a,b,1} \right) = BCNN\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ:

Bội chung nhỏ nhất của 12 và 36 là 36 vì \(36 \vdots 12\).

b) Cách tìm BCNN của hai số a và b bằng định nghĩa

Bước 1. Tìm tập hợp các bội chung của hai số a và b: BC\(\left( {a,b} \right)\)

Bước 2. Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung vừa tìm được: BCNN\(\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ: Tìm BCNN (15, 20)

\(\begin{array}{l}B\left( {15} \right) = \left\{ {0;15;30;45;60;.75;90;105;120;..} \right\}\\B\left( {20} \right) = \left\{ {0;20;40;60;80;100;120;...} \right\}\\BC\left( {15,20} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\end{array}\)

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung trên là 60 nên BCNN (15, 20)=60.

III. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Ví dụ: Tìm BCNN của \(15\) và \(20.\)

Ta có \(15 = 3.5;20 = {2^2}.5\)

Nên \(BCNN\left( {15,20} \right) = {2^2}.3.5 = 60.\)

2. Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ: \(BCNN\left( {15, 20} \right) = 60\) nên \(BC\left( {15, 20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\)

IV. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Tìm mẫu chung của hai phân số

Ví dụ: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\dfrac{7}{{30}}\) và \(\dfrac{5}{{42}}\)

\(\begin{array}{l}30 = 2.3.5\\42 = 2.3.7\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {30;42} \right) = 2.3.5.7 = 210\\ \Rightarrow BC\left( {30,42} \right) = \left\{ {0;210;420;...} \right\}\end{array}\)

+) Cách 1: Chọn mẫu chung là 210. Ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{7.7}}{{210}} = \dfrac{{49}}{{210}}\\\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{5.5}}{{42.5}} = \dfrac{{25}}{{210}}\end{array}\)

+) Cách 2: Chọn mẫu chung là một bội chung bất kì khác 0 của 30 và 42. Chẳng hạn 420, ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{7.14}}{{30.14}} = \dfrac{{98}}{{420}}\\\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{5.10}}{{42.10}} = \dfrac{{50}}{{420}}\end{array}\)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I. Nhận biết và viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số

Phương pháp:

+ Để nhận biết một số là bội chung của hai số, ta kiểm tra xem số này có chia hết cho hai số đó hay không?

+ Để viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các bội của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.

II. Bài toán đưa về việc tìm BC, BCNN của hai hay nhiều số

Phương pháp:

Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BC, BCNN của hai hay nhiều số.

Ví dụ:

Có hai chiếc máy bay A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng.

Giải

Thời gian hai máy bay được bảo dưỡng cùng nhau trong lần tiếp theo là BCNN của 6 và 9.

Ta có: BCNN(6, 9)= 18

Vậy sau ít nhất 18 tháng thì hai máy bay lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng.

III. Tìm các bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

+ Tìm BCNN của hai hay nhiều số cho trước.

+ Tìm các bội của BCNN.

+ Chọn trong số đó các ước hoặc các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

Trả lời Hoạt động 1 trang 49 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các tập hợp B(6), B(9).

Lời giải chi tiết

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42, 48; 54, ...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, ...}

Trả lời Hoạt động 2 trang 49 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6, 9).

Lời giải chi tiết

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42, 48; 54, ...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, ...}

BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; ...}

Trả lời Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9).

Lời giải chi tiết

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6; 9) là 18.

Trả lời Câu hỏi 1 trang 50 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm BCNN(36,9).

Lời giải chi tiết

Do 36   9 nên BCNN(36,9) = 36

Trả lời Luyện tập 1 trang 50 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 6 và 8;

b) 8, 9, 72.

Lời giải chi tiết

a) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; ...}

    B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; ...}

Do đó BC(6, 8) = {0; 24; 48; ...}

Vậy BCNN(6, 8) = 24

b) Vì 72  8 và 72  9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72.

Trả lời Vận dụng trang 50 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau bao lâu thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

Lời giải chi tiết

Số tháng cần tìm là BCNN(6, 9)

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; ...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; ...}

Nên BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; ...}

Do đó BCNN(6, 9) = 18

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa thì hai máy được bảo dưỡng cùng một tháng.

Trả lời Câu hỏi 2 trang 51 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

 Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15, biết 9 = 3²  và 15 = 3. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có:\(9 = 3^2 ; 15 =3. 5\)

Thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 2, của 5 là 1 nên

BCNN(9, 15) = 3².5= 45

Trả lời Câu hỏi 3 trang 51 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết bội chung nhỏ nhất của 8 và 6 là 24. Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6.

Lời giải chi tiết

BC(8, 6) = B(24) ={0; 24; 48; 72; 96; 120;...}

Vậy các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là : 0; 24; 48; 72; 96.

Trả lời Câu hỏi 4 trang 52 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Quy đồng mẫu hai phân số: \(\frac{7}{9}\) và \(\frac{4}{{15}}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(9 = 3^2; 15=3.5\)

Thừa số nguyên tố chung là 3, thừa số nguyên tố riêng là 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 2, của 5 là 1

\(\Rightarrow BCNN(9, 15)=3^2.5 = 45\) nên ta chọn mẫu số chung là 45.

\(\dfrac{7}{9} = \dfrac{{7.5}}{{9.5}} = \dfrac{{35}}{{45}}\)

\(\dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{4.3}}{{15.3}} = \dfrac{{12}}{{45}}\)

Trả lời Luyện tập 2 trang 52 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54. Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54.

Lời giải chi tiết

Phân tích 15 và 54 ra thừa số nguyên tố:  15 = 3.5  ;  54 = 2.3³

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 3, của 2 là 1, của 5 là 1 nên BCNN(15, 54) = 2.3³.5 = 270

Do đó BC(15, 54) = {0; 270; 540; 810; 1080; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 1000 của 15 và 54 là: 0; 270; 540; 810.

Trả lời Thử thách nhỏ trang 52 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội) được ghi ở bảng bên. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng lúc vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày (từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe buýt này lại xuất bến cùng một lúc?

Lời giải chi tiết

Ta có 22h – 10h35p =11h25p = 685 phút

Thời gian các xe cùng xuất bến cách 10h35p các khoảng thời gian là BC(9, 10, 15) và nhỏ hơn 685 phút

Ta có: 9 = 3²,   10 = 2.5,    15 = 3.5.

=> BCNN(9, 10, 15) = 2.3².5 = 90

Như vậy, cứ sau 90 phút thì các xe lại cùng xuất phát

Các BC(9, 10, 15) và nhỏ hơn 685 là: 0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630.

Ta lấy 10h35p cộng lần lượt với 0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630 phút ta được:

Thời gian các xe cùng xuất bến là: 10h35p, 12h05p; 13h35p; 15h05p; 16h35p; 18h05p; 19h35p; 21h05p.

trithuchub.com

Trả lời Luyện tập 3 trang 53 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

1. Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) \(\frac{5}{{12}}\) và \(\frac{7}{{15}}\);              b) \(\frac{2}{7};\,\,\frac{4}{9}\) và \(\frac{7}{{12}}\).

2. Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{3}{8} + \frac{5}{{24}};\)                   b) \(\frac{7}{{16}} - \frac{5}{{12}}.\)

Lời giải chi tiết

1. a) Ta có BCNN(12, 15) = 60 nên ta lấy mẫu chung của hai phân số là 60. 

Thừa số phụ:

60:12 =5; 60:15=4

Ta được:

\(\frac{5}{{12}} = \frac{{5.5}}{{12.5}} = \frac{{25}}{{60}}\)

\(\frac{7}{{15}} = \frac{{7.4}}{{15.4}} = \frac{{28}}{{60}}\)

 b) Ta có BCNN(7, 9, 12) = 252 nên ta lấy mẫu chung của ba phân số là 252. 

Thừa số phụ:

252:7 = 36; 252:9 = 28; 252:12 = 21

Ta được:

\(\frac{2}{7} = \frac{{2.36}}{{7.36}} = \frac{{72}}{{252}}\)

\(\frac{4}{9} = \frac{{4.28}}{{9.28}} = \frac{{112}}{{252}}\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7.21}}{{12.21}} = \frac{{147}}{{252}}\)

2. a) Ta có BCNN(8, 24) = 24 nên:

\(\frac{3}{8} + \frac{5}{{24}} = \frac{{3.3}}{{8.3}} + \frac{5}{{24}} = \frac{9}{{24}} + \frac{5}{{24}} = \frac{{14}}{{24}} = \frac{7}{{12}}\)

 b) Ta có BCNN(12, 16) = 48 nên:

\(\frac{7}{{16}} - \frac{5}{{12}} = \frac{{7.3}}{{16.3}} - \frac{{5.4}}{{12.4}} = \frac{{21}}{{48}} - \frac{{20}}{{48}} = \frac{1}{{48}}\).

trithuchub.com

Giải Bài 2.36 trang 53 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của

a) 5 và 7;

b) 3, 4 và 10.

Lời giải chi tiết

a) Do 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên:

BCNN(5, 7) = 5.7 = 35 => BC(5, 7) = B(35) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là 0; 35; 70; 105; 140; 175.

b) Ta có: 3 = 3; 4 = 2²; 10 = 2.5

Không có thừa số nguyên tố chung ; thừa số nguyên tố riêng là 2,3,5. Số mũ lớn nhất của 2;3;5 lần lượt là 2;1;1 nên BCNN(3, 4, 10) = 2².3.5 = 60

=> BC(3, 4, 10) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

Giải Bài 2.37 trang 53 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm BCNN của:

a) 2.3³ và 3.5;

b) 2.5.7² và

Lời giải chi tiết

a) 2.3³ và 3.5

Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 3; của 2 là 1; của 5 là 1. 

Vậy BCNN cần tìm là 2.3³.5 = 270

b) 2.5.7² và

Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 5 và 7; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3. Số mũ lớn nhất của 5 là 2; của 7 là 2; của 2 là 1, của 3 là 1. 

Vậy BCNN cần tìm là 2.3.5².7²  = 7350.

Giải Bài 2.38 trang 53 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm BCNN của các số sau:

a) 30 và 45;

b) 18, 27 và 45.

Lời giải chi tiết

a) 30 và 45

30 = 2.3.5  ;  45 = 3².5

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và 5; thừa số nguyên tố riêng là 2

Số mũ cao nhất của 3 là 2; số mũ cao nhất của 5 là 1; số mũ cao nhất của 2 là 1

Vậy BCNN(30, 45) = 2.3².5 = 90

b) 18, 27 và 45

18 = 2.3²  ;  27 = 3³  ;  45 = 3².5

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

Số mũ cao nhất của 3 là 3; số mũ cao nhất của 2 là 1; số mũ cao nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(18, 27, 45) = 2.3³.5 = 270.

trithuchub.com

Giải Bài 2.39 trang 53 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0,biết rằng a28 và a32.

Lời giải chi tiết

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 và a ⋮ 28 và a ⋮ 32 

Do đó a = BCNN(28, 32)

28 = 2².7

32 = 2⁵

Thừa số nguyên tố chung là 2, thừa số nguyên tố riêng là 7. Số mũ lớn nhất của 2 là 5, của 7 là 1

Nên a = BCNN(28, 32) = 2⁵.7 = 224.

trithuchub.com