Bài 9. Dấu hiệu chia hết

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết Toán 6 KNTT với cuộc sống

DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2,5,3,9

Ví dụ:

a) Số 15552 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 2 và 2 là số chẵn.

b) Số 955 không chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 5 và 5 là số lẻ.

c) Số 955 và 1010 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5 và 0.

d) Số 1994 và 1653 không chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 4 và 3, hai số này đều khác 0 và 5.

e) Số 1944 chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số là 1+9+4+4=18 chia hết cho 9.

f) Số 7325 không chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số là 7+3+2+5=17 không chia hết cho 9.

g) Số 90156 chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số là 9+0+1+5+6=21 chia hết cho 3.

h) Số 6116 không chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số là 6+1+1+6=14 không chia hết cho 3. 

Chú ý: + Các số có chữ số tận cùng là 0 thì vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5.

+ Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT

I. Nhận biết các số chia hết cho 2

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) Các số 104, 12456, 1558 có chữ số tận cùng là số chẵn nên chia hết cho 2.

b) Các số 12345, 1234567 có chữ số tận cùng là số lẻ (5, 7) nên không chia hết cho 2.

II. Viết các số chia hết cho 2 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho phải có chữ số tận cùng là hoặc hoặc hoặc hoặc .

Ví dụ:

Từ số . Hãy ghép thành các số có chữ số khác nhau và chia hết cho .

Giải:

Số được ghép thành chia hết cho nên phải có chữ số hàng đơn vị là .

Hai chữ số hàng chục có thể là hoặc .

Nếu chữ số hàng chục là thì chữ số hàng trăm là . Ta được số cần tìm là .

Nếu chữ số hàng chục là thì chữ số hàng trăm là . Ta được số cần tìm là .

Vậy có số có thể ghép thành là và .

III. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 2

Phương pháp

 Số dư trong phép chia cho 2 chỉ có thể là 0 hoặc 1.

Ví dụ:

Cho số . Tìm các số tự nhiên sao cho chia cho dư .

Giải:

Ta có: 

Mà chia cho dư nên chỉ có thể là .

=> có thể là

IV. Nhận biết các số chia hết cho 5

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) Số 12345 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

b) Số 1254360 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5

c) Các số 5459, 34544,1498 không có chữ số tận cùng là 0 cùng không có chữ số tận cùng là 5 nên không chia hết cho 5.

V. Viết các số chia hết cho 5 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho phải có chữ số tận cùng là hoặc .

Ví dụ:

Với số , hãy lập các chữ số có chữ số khác nhau chia hết cho .

Giải:

Số cần tìm chia hết cho 5 nên có chữ số hàng đơn vị là 5.

Chữ số hàng chục có thể là 2 hoặc 3.

Nếu chữ số hàng chục là 2 thì chữ số hàng trăm là 3. Ta được số cần tìm là 325.

Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng trăm là 2. Ta được số cần tìm là 235.

Vậy có 2 số thỏa mãn bài toán là 235 và 325.

VI. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 5

Phương pháp giải

- Số dư trong phép chia cho 5 chỉ có thể là 0, hoặc 1,hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4.

- Mọi số tự nhiên luôn có thể được viết một trong 5 dạng sau:

+) Dạng 1: (số chia hết cho 5); 

+) Dạng 2: (số chia cho 5 dư 1);

+) Dạng 3: (số chia cho 5 dư 2);

+) Dạng 4: (số chia cho 5 dư 3);

+) Dạng 5: (số chia cho 5 dư 4).

Với .

Ví dụ: Cho số . Tìm các số tự nhiên sao cho chia cho dư .

VII. Nhận biết các số chia hết cho 9

Phương pháp giải

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho cho 9.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

100984 có tổng các chữ số là: 1+9+8+4=22

22 là số không chia hết cho 9 nên 100984 không chia hết cho 9

13545 có tổng các chữ số là: 1+3+5+4+5=18. Số 18 chia hết cho 9 nên 13545  chia hết cho 9.

VIII. Viết các số chia hết cho 9 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 9.

Ví dụ:

Cho  chia hết cho 9. Tìm số thay thế cho .

Giải:

Tổng các chữ số của là để số chia hết cho 9 thì phải chia hết cho 9.

Do là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

Số chia hết cho 9 từ 6 đến 15 chỉ có đúng một số 9, do đó

Vậy số thay thế cho a chỉ có thể là 3.

IX. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 9

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất: Số dư của một số khi chia cho bằng số dư của tổng các chữ số của số đó khi chia cho .

Ví dụ:

ho số . Tìm các số tự nhiên sao cho chia cho dư .

Giải:

Vì chia cho dư nên chia cho dư .

=> chia hết cho .

Mà 

=> chỉ có thể là

=> có thể là

X. Nhận biết các số chia hết cho 3

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) 555464 có tổng các chữ số là: 5+5+5+4+6+4=29 không chia hết cho 3 nên 555464 không chia hết cho 3.

b) 15645 có tổng các chữ số là: 1+5+6+4+5=21 chia hết cho 3 nên 15645 chia hết cho 3.

XI. Viết các số chia hết cho 3 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp giải

Các số chia hết cho 3 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Ví dụ:

Cho  chia hết cho 3. Tìm số thay thế cho .

Giải:

Tổng các chữ số của là để số chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3.

Do là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

Số chia hết cho 3 từ 4 đến 13 có 3 số lần lượt là 6, 9, 12.

Với .

Với 

Với 

Vậy số thay thế cho a có thể là 2, 5, 8.

XII. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 3

Phương pháp

- Số dư trong phép chia cho 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2.

- Mọi số tự nhiên luôn có thể được viết một trong 3 dạng sau:

+) Dạng 1: (số chia hết cho 3); 

+) Dạng 2: (số chia cho 3 dư 1);

+) Dạng 3: (số chia cho 3 dư 2)

Với .

Ví dụ:

Cho số . Tìm các số tự nhiên sao cho chia cho dư .

Giải:

Vì chia cho dư nên chia hết cho .

=> chia hết cho .

=> chia hết cho .

Vì chia hết cho nên để tổng chia hết cho thì cũng phải chia chết cho .

Mà 

=> chỉ có thể là

=> có thể là

Trả lời Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét số n = \(\overline {23*} \) (* là chữ số tận cùng của n). Ta viết n = 230 + *

Số 230 có chia hết cho 2 và chia hết cho 5 không?

Lời giải chi tiết

Ta có: 230 : 2 = 115; 230 : 5 = 46

Số 230 chia hết cho 2 và cho 5

Trả lời Hoạt động 2 trang 34 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét số n = $\overline{23\ast }$ (* là chữ số tận cùng của n).

Ta viết n = 230 + *

Vận dụng tính chất chia hết của một tổng, hãy cho biết:

a) Thay dấu * bởi chữ số nào thì n chia hết cho 2?

b) Thay dấu * bởi chữ số nào thì n chia hết cho 5?

Lời giải chi tiết

n = 230 + * (* ∈ N; 0 ≤ * ≤ 9)

a) Để n ⁝ 2 thì (230+*) $⋮$ 2

Vì 230 $⋮$ 2 nên * $⋮$ 2

Mà 0 ≤ * ≤ 9

Do đó * ∈ { 0;2;4;6;8}

b) Để n ⁝ 5 thì (230+*) $⋮$ 5

Vì 230 $⋮$ 5 nên * $⋮$ 5

Mà 0 ≤ * ≤ 9

Do đó * ∈ {0;5}.

Trả lời Luyện tập 1 trang 35 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

1. Không thực hiện phép tính, em hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không.

a) 1954 + 1 975;                     b) 2 020 – 938.

2. Không thực hiện phép tính, em hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không.

a) 1 945 + 2 020 ;                   b) 1954 - 1930.

Lời giải chi tiết

1.

 a) (1 954 + 1 975 )2

Vì 1 954 có chữ số tận cùng là 4 chia hết cho 2 và 1 975 có chữ số tận cùng là 5 không chia hết cho 2

 b) (2 020 – 938) 2

Vì 2 020 và 938 có chữ số tận cùng là 0 và 8 nên đều chia hết cho 2.

2.

a) (1 945 + 2 020)5

Vì 1 945 và 2 020 có chữ số tận cùng là 5 và 0 nên đều chia hết cho 5

b) (1 954 – 1930) 5

Vì 1 954 có chữ số tận cùng là 4 không chia hết cho 5 và 1 930 có chữ số tận cùng là 0 chia hết cho 5.

Trả lời Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các số: 27, 82, 195, 234.

Hãy sắp xếp các số trên thành hai nhóm: Nhóm các số chia hết cho 9 và nhóm các số không chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

Ta có: 27: 9 = 3; 82 : 9 = 9 (dư 1); 195 : 9 = 21 (dư 6); 234 : 9 = 26

+ Nhóm các số chia hết cho 9:  27 ; 234

+ Nhóm các số không chia hết cho 9:  82 ; 195

Trả lời Hoạt động 4 trang 35 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các số 27; 82; 195; 234.

Tính tổng các chữ số của mỗi số và xét tính chia hết cho 9 của các tổng đó trong mỗi nhóm.

Lời giải chi tiết

* Nhóm các số chia hết cho 9:

Tổng các chữ số của số 27 là 2+7=9 chia hết cho 9 

Tổng các chữ số của số 2+3+4=9 chia hết cho 9 

* Nhóm các số không chia hết cho 9:

Tổng các chữ số của số 82 là 8+2 = 10 không chia hết cho 9 

Tổng các chữ số của số 195 là 1+9+5=15 không chia hết cho 9

Trả lời Luyện tập 2 trang 35 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Thay dấu * bởi một chữ số để được số chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

Số  chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 9

Hay (1 + 2 + *) chia hết cho 9 hay (3 + *) chia hết cho 9

Vì 0 ≤ * ≤ 9 nên *  = 6.

Trả lời Luyện tập 3 trang 36 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Thay dấu * bằng một chữ số đề số \(\overline {12*5} \) chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết

Số \(\overline {12*5} \) chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3

Nên (1 + 2 + * + 5) chia hết cho 3 hay (8 + *) chia hết cho 3

Vì 0 ≤ * ≤ 9 nên * ∈ {1; 4; 7}

Trả lời Vận dụng trang 36 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên một bờ đất dài 108 m, một bác nông dân có kế hoạch trồng một số cây dừa thành một hàng sao cho hai cây cách đều nhau là 9 m và luôn có cây ở vị trí đầu và cuối của bờ đất. Hỏi bác nông dân có trồng được như vậy không? Nếu được, bác cần bao nhiêu cây dừa để trồng?

 

Lời giải chi tiết

Vì 108 có tổng các chữ số là 1+0+8= 9 chia hết cho 9 nên 108 chia hết cho 9 nên bác nông dân có thể trồng được như thế.

Số cây dừa bác cần để trồng là:

108 : 9 + 1 = 13 (cây)

Trả lời Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các số 42, 80, 191, 234.

Hãy sắp xếp các số trên thành hai nhóm: Nhóm các số chia hết cho 3 và nhóm các số không chia hết cho 3. 

Lời giải chi tiết

Ta có: 42 : 3 = 14; 80 : 3 = 26 (dư 2); 191 : 3 = 63 (dư 2); 234 : 3 = 78

+ Nhóm các số chia hết cho 3: 42 ; 234

+ Nhóm các số không chia hết cho 3: 80 ; 191

Trả lời Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính tổng các chữ số của mỗi số và xét tính chia hết cho 3 của các tổng đó trong mỗi nhóm.

Lời giải chi tiết

* Nhóm các số chia hết cho 3:

Tổng các chữ số của số 42 là 4+2=6 chia hết cho 3

Tổng các chữ số của số 234 là 2+3+4=9 chia hết cho 3

* Nhóm các số không chia hết cho 3:

Tổng các chữ số của số 80 là 8+0=8 không chia hết cho 3

Tổng các chữ số của số 191 là 1+9+1=11 không chia hết cho 3

Trả lời Thử thách nhỏ trang 36 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bạn Hà cần tìm đường đến siêu thị. Biết rằng Hà chỉ có thể đi qua ô có chứa số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 và mỗi ô chỉ đi qua một lần. Em hãy giúp Hà đến được siêu thị nhé.

 

Lời giải chi tiết

Vì Hà chỉ có thể đi qua ô có chứa số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 nên Hà không thể đi qua ô 5; 17; 19; 65; 77.

Bạn Hà có thể đi bằng 2 đường sau để đến siêu thị:

12 => 6 => 21 => 15 => 2020 => 72 => 123 => 136 => 1245.

21 => 15 => 2020 => 72 => 123 => 136 => 1245.

Giải Bài 2.10 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5?

324; 248; 2020; 2025.

Lời giải chi tiết

+ Vì các số 324; 248; 2 020 có chữ số tận cùng lần lượt là 4; 8; 0 nên 324; 248; 2 020 chia hết cho 2

+ Vì các số 2 020; 2025 có chữ số tận cùng lần lượt là 0 và 5 nên 2 020; 2025 chia hết cho 5

Giải Bài 2.11 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Trong các số sau, số nào chia hết cho 3, số nào chia hết cho 9?

450; 123; 2 019; 2 025.

Lời giải chi tiết

+ Xét số 450 có tổng các chữ số là 4 + 5 + 0 = 9. Do 9 3 và 9 9 nên 450 3 và 450  9.

+ Xét số 123 có tổng các chữ số là 1 + 2 + 3 = 6. Do 6 3 và 6  9 nên 123 3 và 123 9

+ Xét số 2 019 có tổng các chữ số là 2 + 0 + 1 + 9 = 12. Do 12 3 và 12  9 nên 2 019 3 và 2 019  9

+ Xét số 2 025 có tổng các chữ số là 2 + 0 + 2 + 5 = 9. Do 9 3 và 9 9 nên 2 025 3 và 20 25 9

Vậy các số chia hết cho 3 là:  450 ; 123 ; 2 019 ; 2 025

Các số chia hết cho 9 là:  450 ; 2 025

Chú ý: Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

Các số chia hết cho 3 chưa chắc đã chia hết cho 9.

Giải Bài 2.12 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Khối lớp 6 của một trường có 290 học sinh đi dã ngoại. Cô phụ trách muốn chia đều số học sinh của khối 6 thành 9 nhóm. Hỏi cô có chia nhóm được như vậy không?

Lời giải chi tiết

Tổng các chữ số của số 290 là 2+ 9 = 11 \(\not{ \vdots }\) 9 nên 290 \(\not{ \vdots }\)  9

Vậy không thể chia đều số học sinh của khối 6 thành 9 nhóm.

trithuchub.com

Giải Bài 2.13 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Có 162 học sinh tham gia chương trình đào tạo bóng đá, được chia thành các đội. Mỗi đội cần có 9 học sinh. Hỏi có đội nào không có đủ 9 học sinh hay không?

Lời giải chi tiết

Tổng các chữ số của 162 là 9 chia hết cho 9 nên chia 162 em học sinh thành các đội, thì không có đội nào không đủ 9 học sinh.

trithuchub.com

Giải Bài 2.14 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Thay dấu * bởi một chữ số đề số :

a) Chia hết cho 2              b) Chia hết cho 3;

c) Chia hết cho 5;             d) Chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a) Số  chia hết cho 2 thì nó phải có tận cùng là chữ số chẵn.

Vậy có thể thay * bằng các chữ số: 0; 2; 4; 6; 8

b) Số  chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3.

Do đó 3+4+5+* chia hết cho 3 nên 12 + * chia hết cho 3.

Mà 12 chia hết cho 3 nên * cũng chia hết cho 3

Vậy có thể thay * bằng các chữ số: 0; 3; 6; 9

c) Số  chia hết cho 5 thì nó phải có tận cùng là 0 hoặc 5

Vậy có thể thay * bằng các chữ số: 0 ; 5

d) Số  chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 9

Do đó 3+4+5+* chia hết cho 9 nên 12 + * chia hết cho 9

Vậy có thể thay * bằng chữ số 6.

trithuchub.com

Giải Bài 2.15 trang 37 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Dùng ba chữ số 3, 0 , 4, hãy viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và thoả mãn một trong hai điều kiện:

a) Các số đó chia hết cho 2;

b) Các số đó chia hết cho 5.

Lời giải chi tiết

a) Các số phải có tận cùng là 0 hoặc 4

Các số chia hết cho 2: 304; 340; 430

b) Các số phải có tận cùng là 0

Các số chia hết cho 5: 340; 430