Bài 8. Quan hệ chia hết và tính chất

Lý thuyết Quan hệ chia hết và tính chất Toán 6 KNTT với cuộc sống

 1. Quan hệ chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b,\) trong đó \(b \ne 0,\) nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x = a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) và ta có phép chia hết \(a:b = x\)

Nếu \(a\) không chia hết cho \(b,\) ta kí hiệu là \(a\not  \vdots b\).

Ước và bội

- Nếu có số tự nhiên \(a\) chia hết cho số tự nhiên \(b\) thì ta nói \(a\) là bội của \(b,\) còn \(b\) là ước của \(a.\)

- Kí hiệu: Ư\(\left( a \right)\) là tập hợp các ước của \(a\) và \(B\left( b \right)\) là tập hợp các bội của \(b\).

Ví dụ : \(12 \vdots 6 \Rightarrow 12\) là bội của \(6.\) Còn \(6\) được gọi là ước của \(12\)

Cách tìm ước và bội

Tìm ước:

- Ta có thể tìm các ước của \(a\)\(\left( {a > 1} \right)\)  bằng cách lần lượt chia \(a\) cho các số tự nhiên từ \(1\) đến \(a\) để xét xem \(a\) chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của \(a.\)

Ví dụ :

16:1=16; 16:2=8; 16:4=4; 16:8=2; 16:16=1

Vậy các ước của 16 là 1;2;4;8;16. Tập hợp các ước của 16 là:

 Ư\(\left( {16} \right) = \left\{ {1;2;4;8;16} \right\}\)

Tìm bội:

- Ta có thể tìm các bội của một số khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với \(0,1,2,3,...\)

Ví dụ :

Ta lấy 6 nhân với từng số 0 thì được 0 nên 0 là bội của 6, lấy 6.1=6 nên 6 là bội của 6, 6.2=12 nên 12 là bội của 6,...

Vậy \(B\left( 6 \right) = \left\{ {0;6;12;18;...} \right\}\)

2. Tính chất chia hết của một tổng

- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

\(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) \( \Rightarrow \left( {a + b} \right) \vdots m\)

\(a\, \vdots \,m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)

- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

\(a \vdots m\) và \(b\not  \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not  \vdots m\)

\(a\not  \vdots m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\not  \vdots m\)

Ví dụ: Ta có \(6 \vdots 3;\,9 \vdots 3;\,15 \vdots 3\, \Rightarrow 6 + 9 + 15 = 30 \vdots 3\);\(10 \vdots 5;\,15 \vdots 5;\,12\not  \vdots 5 \Rightarrow 10 + 15 + 12 = 37\not  \vdots 5\)

Trả lời Câu hỏi 1 trang 30 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm kí hiệu thích hợp (\( \vdots ,\,\not{\vdots}\)) thay cho dấu “?”.

 

Lời giải chi tiết

\(24\, \vdots\, 6\)

\(45 \not{\vdots}\, 10\)

\(35 \,\vdots \,5\)

\(42 \not{\vdots}\, 4\).

Trả lời Câu hỏi 2 trang 30 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bạn Vuông hay Tròn đúng nhỉ:

 

Lời giải chi tiết

Do: 15 5 nên 5 là ước của 15

       15 6 nên 6 không là ước của 15.

Vậy bạn Vuông đúng.

Trả lời Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, em hãy viết tập hợp tất cả các ước của 12.

Lời giải chi tiết

Chia 12 cho các số tự nhiên từ 1 đến 12, ta được:

12:1 = 12 ; 12:2 = 6; 12:3 = 4 ; 12:4 = 3 ; 12: 5 = 2(dư 2); 12:6 = 2; 12:7 =1(dư 5); 12:8 = 1 (dư 4) ; 12:9 = 1(dư 3) ; 12:10 = 1 (dư 2) ; 12:11  =1 (dư 1) ; 12:12 = 1.

Vì 12 chia hết cho 1,2,3,4,6,12 nên các ước của 12 là: 1;2;3;4;6;12.

Tập hợp các ước của 12 là A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Trả lời Luyện tập 1 trang 31 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Hãy tìm tất cả các ước của 20;

b) Hãy tìm tất cả các bội nhỏ hơn 50 của 4.

Lời giải chi tiết

+ Lần lượt chia 20 cho các số tự nhiên từ 1 đến 20, ta thấy 20 chia hết cho 1; 2; 4; 5; 10; 20

Ta được: Tất cả các ước của 20 là: 1; 2; 4; 5; 10; 20

+ Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; … ta được các bội của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52;…

Ta được: Tất cả các bội nhỏ hơn 50 của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20 ;24; 28; 32; 36; 40; 44; 48.

Trả lời Thử thách nhỏ trang 31 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy tìm ba ước khác nhau của 12 sao cho tổng của chúng bằng 12.

Lời giải chi tiết

+ Lần lượt chia 12 cho các số tự nhiên từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12

Vậy các ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12

+ Ta thấy: 12 = 2 + 4 + 6.

Ba ước khác nhau của 12 có tổng là 12: 2; 4; 6

Trả lời Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết hai số chia hết cho 5. Tổng của chúng có chia hết cho 5 không?

Lời giải chi tiết

Hai số chia hết cho 5 là: 15 và 20.

Tổng của chúng là:15 + 20 = 35 chia hết cho 5.

Trả lời Hoạt động 4 trang 31 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết ba số chia hết cho 7. Tổng của chúng có chia hết cho 7 không?

Lời giải chi tiết

Chọn ba số chia hết cho 7 là: 7 ; 21; 70.

Tổng của chúng là: 7 + 21 + 70 = 98 chia hết cho 7.

Trả lời Hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bằng cách nhân 8 với 0, 1, 2,... em hãy viết các bội của 8 nhỏ hơn 80.

Lời giải chi tiết

Tập hợp các bội của 8 nhỏ hơn 80 là B = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72}

Trả lời Luyện tập 2 trang 32 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) 24 + 48 có chia hết cho 4 không? Vì sao?

b) 48 + 12 – 36 có chia hết cho 6 không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) 24 + 48 4 vì 24 4 và 48  4

b) 48 + 12 - 36  6 vì 48 c 6; 12  6 và 36  6

Trả lời Vận dụng 1 trang 32 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy tìm x thuộc tập {1; 14; 16; 22; 28}, biết tổng 21 + x chia hết cho 7.

Lời giải chi tiết

Tổng (21 + x)  7. Mà 21  7 nên x cũng 7.

Mà x {1; 14; 16; 22; 28} nên x = 14 hoặc x = 28.

Trả lời Hoạt động 5 trang 32 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy viết hai số, trong đó một số chia hết cho 5 và số còn lại không chia hết cho 5.

Tổng của chúng có chia hết cho 5 không?

Lời giải chi tiết

Chọn 15 \( \vdots \) 5; 8 \(\not{ \vdots }\) 5

Tổng 15 + 8 = 23 \(\not{ \vdots }\) 5

Trả lời Hoạt động 6 trang 32 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy viết ba số, trong đó hai số chia hết cho 4 và số còn lại không chia hết cho 4. Tổng của chúng có chia hết cho 4 không?

Lời giải chi tiết

3 số em chọn là: 12; 20; 5.

Vì 12 $⋮$ 4; 20 4; 5  4

Nên tổng 12 + 20 + 5 = 37 4

Chú ý: Ta có thể chọn 3 số khác, trong đó có 2 số chia hết cho 4 và 1 số không chia hết cho 4.

Trả lời Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) 20 + 81 có chia hết cho 5 không? Vì sao?

b) 34 + 28 – 12 có chia hết cho 4 không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) (20 + 81) 5 vì 20  5 nhưng 81  5

b) (34 + 28 - 12) 4 vì 28  4, 12 4 nhưng 34  4.

Trả lời Vận dụng 2 trang 33 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm x thuộc tập (5; 25; 39; 54} sao cho tổng 20 + 45 + x không chia hết cho 5.

Lời giải chi tiết

Tổng (20 + 45 + x) \(\not{ \vdots }\) 5. Mà 20 \( \vdots \) 5; 45 \( \vdots \) 5 nên x \(\not{ \vdots }\) 5.

Mặt khác: x \( \in \) {5; 25; 39; 54}

Do đó: x = 39 hoặc x = 54.

Giải Bài 2.1 trang 33 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Hãy tìm các ước của mỗi số sau: 30; 35; 17.

Lời giải chi tiết

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Ư(35) = {1; 5; 7; 35}

Ư(17) = {1; 17}

Giải Bài 2.2 trang 33 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Trong các số sau, số nào là bội của 4?

16; 24; 35.

Lời giải chi tiết

Ta có: 16 : 4 = 4; 24 : 4 = 6; 35 : 4 = 8 dư 3 

=> Các số là bội của 4 trong 3 số trên là: 16; 24

Giải Bài 2.3 trang 33 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

a) x \( \in \) B(7) và x < 70;

b) y \( \in \) Ư(50) và y > 5.

Lời giải chi tiết

a) Nhân 7 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 7 là: 0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…

Ta được B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…}. Mà x ∈ B(7) và x < 70 

Vậy x ∈ {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63}.

b) Chia 50 cho các số từ 1 đến 50, ta thấy 50 chia hết cho 1; 2; 5; 10; 25; 50 nên 

Ư(50) = {1; 2; 5; 10; 25; 50}. Mà y ∈ Ư(50) và y > 5 

Vậy y ∈ {10; 25; 50}.