Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông trang 75

HĐ 1

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai cạnh và góc xen giữa của hai tam giác trên bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét 2 tam giác ABC và A’B’C có:

AB=A’B’ (gt)

\(\widehat A = \widehat {A'}\) (gt)

AC=A’C’ (gt)

Suy ra \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) (c.g.c)

HĐ 2

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A'B', \(\widehat B = \widehat {B'}\) (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.

Lời giải chi tiết:

Xét 2 tam giác ABC và A'B'C' có:

\(\widehat B = \widehat {B'}\) (gt)

AB=A’B’ (gt)

\(\widehat A = \widehat {A'}\) (gt)

Suy ra \( \Delta ABC = \Delta A'B'C'\) (g.c.g)

Luyện tập 1

Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Phương pháp giải:

Áp dụng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. Vì hai tam giác vuông này bằng nhau (g-c-g)

HĐ 3

Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B’C’ và các góc B, B’. Khi đó AC, A’C’ mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

b) Chứng minh AC=A’C’

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ có:

BC=B’C’ (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}\) (gt)

suy ra \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Do \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) nên AC=A’C’ (2 cạnh tương ứng)

Vậy độ cao hai con dốc bằng nhau.

Câu hỏi

Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh ba cặp tam giác vuông bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau đã học.

Lời giải chi tiết:

+) Xét hai tam giác vuông ABC và XYZ có:

\(\widehat A = \widehat X( = 90^\circ )\) (gt)

AC=XZ (gt)

\(\widehat C = \widehat Z\) (gt)

suy ra \(\Delta ABC = \Delta XYZ\) (g.c.g)

+) Xét hai tam giác vuông DEF và GHK có:

\(EF = HK\) (gt)

\(\widehat {EFD} = \widehat {GKH}\) (gt)

suy ra \(\Delta DEF = \Delta GHK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

+) Xét hai tam giác vuông MNP và RTS có:

\(MN = TR\) (gt)

\(\widehat R = \widehat M( = 90^\circ )\) (gt)

\(PM = SR\) (gt)

suy ra \(\Delta MNP = \Delta RTS\) (c.g.c)

Luyện tập 2

Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy(H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác OBM và OAM bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác vuông OBM và OAM có:

OM chung

\(\widehat {BOM} = \widehat {AOM}\) (gt)

Do đó \(\Delta OBM = \Delta OAM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MB = MA (2 cạnh tương ứng)

HĐ 4

Vẽ tam giác vuông ABC có A = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

• Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

• Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

•Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác theo các bước hướng dẫn.

Lời giải chi tiết:

HĐ 5

Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không?

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng hoặc compa kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra được AC = A'C'

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau vì 3 cặp cạnh đều bằng nhau

Câu hỏi

Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và GHK vuông tại G có:

AB = GH (gt)

BC = HK (gt)

Do đó $\Delta ABC=\Delta GHK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và MNP vuông tại M có:

DF = MP (gt)

EF = NP (gt)

Do đó $\Delta D\text{EF}=\Delta MNP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ABC=\Delta GHK,\Delta D\text{EF}=\Delta MNP.$

Luyện tập 3

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và chỉ ra 3 cặp tam giác vuông bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Vì A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.

Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:

OA = OC (cmt)

ON chung

Do đó $\Delta ON\text{A}=\Delta ONC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OB = OC (cmt)

OM chung

Do đó $\Delta OMB=\Delta OMC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:

OA = OB (cmt)

OP chung

Do đó $\Delta \mathrm{OPA}=\Delta \mathrm{OPB}$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Thử thách nhỏ

Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B’H’ như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác BAH và B'A'H’ bằng nhau, từ đó suy ra 2 góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác BAH và B'A'H’ có:

AB=A’B’

BH=B’H’

Do đó (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra (hai góc tương ứng).