Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng trang 80

Câu hỏi

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Phương pháp giải:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó gọi là 2 cạnh bên, cạnh còn lại của tam giác gọi là cạnh đáy.

Lời giải chi tiết:

+) Tam giác ABD cân tại đỉnh A có:

AB, AD là 2 cạnh bên

BD là cạnh đáy

\(\widehat B,\widehat D\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

+) Tam giác ADC cân tại A có:

AC, AD là 2 cạnh bên

DC là cạnh đáy

\(\widehat C,\widehat D\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

+) Tam giác ABC cân tại A có:

AB, AC là 2 cạnh bên

BC là cạnh đáy

\(\widehat C,\widehat B\) là 2 góc ở đáy

\(\widehat A\) là góc ở đỉnh

HĐ 1

Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng \(\Delta \) ABD = \(\Delta \) ACD theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh ba cạnh của 2 tam giác trên bằng nhau

b) Từ câu a) suy ra 2 cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB = AC

AD chung

BD = DC

Do đó \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)ACD (c.c.c)

b) Do \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)ACD nên \(\widehat B = \widehat C\) (2 góc tương ứng)

HĐ 2

Cho tam giác MNP có \(\widehat M = \widehat N\). Vẽ tia phân giác PK của tam giác \(MNP(K \in MN)\).

Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\);

b) \(\Delta MPK = \Delta NPK\);

c) Tam giác MNP có cân tại \(P\) không?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí: Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ

b) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh - góc

c) Sử dụng định nghĩa tam giác cân: Tam giác MNP cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác MPK có:

\(\widehat {PKM} + \widehat {MPK} + \widehat {KMP} = {180^\circ}\)

Xét tam giác NPK có:

\(\widehat {PKN} + \widehat {NPK} + \widehat {KNP} = {180^\circ}\)

Mà \(\widehat {KMP} = \widehat {KNP};\,\,\,\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

Suy ra \(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\).

b) Xét hai tam giác MPK và NPK có:

\(\widehat {MPK} = \widehat {NPK}\)

PK chung

\(\widehat {MKP} = \widehat {NKP}\)

Suy ra \(\Delta MPK = \Delta NPK\) (g.c.g)

c) Do \(\Delta MPK = \Delta NPK\) nên MP=NP (2 cạnh tương ứng)

Do đó tam giác MNP cân tại P.

Luyện tập 1

Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác DEF cân tại F từ đó suy ra số đo các góc.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Vì tam giác DEF có DF = FE (= 4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Mà \(\widehat E=60^\circ\)

Do đó, \(\Delta DEF \) đều. (Tam giác cân có 1 góc bằng \(60^\circ\))

Suy ra \(\widehat D = \widehat F=\widehat E=60^\circ\).

Vì tam giác DEF đều nên DE = DF = FE = 4cm.

Cách 2: Xét tam giác DEF có DF = FE (= 4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Suy ra \(\widehat E = \widehat D = {60^\circ}\) (tính chất tam giác cân)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác vào tam giác DEF, ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^\circ}\\ {60^\circ} + {60^\circ} + \widehat F = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat F = {60^\circ}\end{array}\)

Vì tam giác DEF đều nên DE = DF = FE = 4cm.

TTN

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

b) Tam giác cân có một góc bằng 60°?

Phương pháp giải:

Áp dụng: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

b) Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ là tam giác đều.

HĐ 3

Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Phương pháp giải:

Dùng thước đo kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a)      O có là trung điểm của đoạn thẳng AB

b)      Dùng thước đo góc ta thấy d có vuông góc với AB.

Câu hỏi

Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Phương pháp giải:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Lời giải chi tiết:

Do: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nên hình a) Lan vẽ đúng.

HĐ 4

Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Phương pháp giải:

Dùng thước kiểm tra

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d dùng thước kiểm tra ta thấy AM bằng BM.

Luyện tập 2

Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và \(\widehat {MAB}\)= 60° (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Phương pháp giải:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA=MB=3cm.

Do đó tam giác MAB cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = {60^\circ}\).