Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ thực - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

- Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với a là số thực tùy ý:

\({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\,thừa\,số}\)

Với a là số thực khác 0:

\({a^0} = 1;{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).

- Trong biểu thức \({a^m}\), a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Chú ý: \({0^0}\) và \({0^{ - n}}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\) không có nghĩa.

b) Tính chất

Với \(a \ne 0,b \ne 0\) và m, n là các số nguyên, ta có:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\);

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\);

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\);

\({\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\);

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\).

Chú ý:

- Nếu \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

- Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Khái niệm căn bậc n

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).

Nhận xét: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\) (gọi là bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{a}\).

Chú ý: \(\sqrt[n]{0} = 0\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

b) Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

\(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\);

\(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\);

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\);

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) khi n lẻ, \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn;

\(\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\).

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

c) Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là một số nguyên và n là một số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \({a^r}\), xác định bởi \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

Lưu ý: \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\).

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và \(\alpha \) là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha \). Khi đó, dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu là \({a^\alpha }\).

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}\).

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

Giải mục 1 trang 5 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 7, 8 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 6.1 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính:

a) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 2}}\);

b) \({4^{\frac{3}{2}}}\);

c) \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\);

d) \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 2}} = {\left( {{5^{ - 1}}} \right)^{ - 2}} = {5^2} = 25\).

b) \({4^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{4^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} = {2^3} = 8\).

c) \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = {\left( {2{}^{ - 3}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = {2^2} = 4\).

d) \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} = {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} = {2^3} = 8\).

Bài 6.2 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 6.3 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^5}{y^{ - 2}}}}{{{x^3}y}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\);                           

b) \(B = \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{{\left( {{x^{ - 1}}{y^4}} \right)}^{ - 3}}}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(A = \frac{{{x^5}{y^{ - 2}}}}{{{x^3}y}} = \frac{{{x^5}}}{{{x^3}}}.\frac{{{y^{ - 2}}}}{y}\)

\(= {x^{5 - 3}}.{y^{ - 2 - 1}} = {x^2}{y^{ - 3}}\).

b) \(B = \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{{\left( {{x^{ - 1}}{y^4}} \right)}^{ - 3}}}} = \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{{\left( {{x^{ - 1}}} \right)}^{ - 3}}.{{\left( {{y^4}} \right)}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{x^3}.{y^{ - 12}}}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^3}}}.\frac{{{y^{ - 3}}}}{{{y^{ - 12}}}}\)

\(= \frac{1}{x}.{y^{ - 3 + 12}} = \frac{{{y^9}}}{x}\).

Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 6.5 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2.\)

Lời giải chi tiết

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  \)

\(= \sqrt {{{\sqrt 3 }^2} + 2\sqrt 3 .1 + 1}  - \sqrt {{{\sqrt 3 }^2} - 2\sqrt 3 .1 + 1} \)

\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  \)

\(= \sqrt 3  + 1 - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2\).

Bài 6.6 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}{.2}^{\frac{2}{3}}$.

Lời giải chi tiết

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$.             

Ta có $6\sqrt{3}=2.3\sqrt{3}$; $3\sqrt{6}=3.\sqrt{2.3}=\sqrt{2}.3\sqrt{3}$ mà $2>\sqrt{2}\Rightarrow 6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Do đó .

b) và .

Ta có ; mà .

Do đó .

Bài 6.7 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (r được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

.

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Vì bác An gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong 1 năm và sau 2 năm là được 4 kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là (triệu đồng).

Bài 6.8 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á khoảng 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A={19.2}^{\frac{t}{30}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải chi tiết

Sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là ${19.2}^{\frac{20}{30}}=30,16062$ (triệu người).