Bài 19. Lôgarit Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Lôgarit - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Khái niệm Lôgarit

Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực \(\alpha \) để \({a^\alpha } = M\) được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là \({\log _a}M\).

\(\alpha  = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M\).

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. Từ định nghĩa lôgarit, ta có các tính chất sau:

Với \(0 < a \ne 1\), \(M > 0\) và \(\alpha \) là số thực tùy ý, ta có:

\({\log _a}1 = 0\); \({\log _a}a = 1\); \({a^{{{\log }_a}M}} = M\); \({\log _a}{a^\alpha } = \alpha\).

2. Tính chất của lôgarit

a) Quy tắc tính lôgarit

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, \(\alpha \) là số thực tùy ý. Khi đó:

\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\);

\({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N\);

\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\).

b) Đổi cơ số của lôgarit

Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (\(0 < a \ne 1\), \(0 < b \ne 1\)) và M là số thực dương tùy ý, ta luôn có:

\({\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\).

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgatit thập phân của M, kí hiệu là \(\log M\) hoặc \(\lg M\) (đọc là lốc của M).

b) Số e và lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là \(\ln M\) (đọc là lôgarit Nêpe của M).

Giải mục 1 trang 10, 11 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 11, 12, 13 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 14 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải câu hỏi Vận dụng trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2

Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:

- Lãi kép kì hạn 12 tháng;

- Lãi kép kì hạn 1 tháng;

- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 12 tháng là:

\(100.{\left( {1 + \frac{{0,06}}{1}} \right)^1} = 106\) (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 1 tháng là:

\(100.{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} = 106,1677812\) (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép liên tục là:

\(100.{e^{0,06.1}} = 106,1836547\) (triệu đồng).

b) Vì cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục nên ta có

\(100.{e^{0,06t}} = 150 \Leftrightarrow {e^{0,06t}} = 1,5 \)

\(\Leftrightarrow 0,06t = {\log _e}1,5 \Leftrightarrow t = 6,757751802\).

Do đó thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục là 7 năm.

Bài 6.9 trang 14 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

c) .

d) .

Bài 6.10 trang 14 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

.

Bài 6.11 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.                                     

b)

.

Bài 6.12 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8\);

b) \(B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n}\).

Lời giải chi tiết

a) \(A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8\)  

\( = {\log _2}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8\)

\( = {\log _2}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8\)

\( = {\log _2}6.{\log _6}7.{\log _7}8 = {\log _2}7.{\log _7}8\)

\(= {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3\).

b) \(B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n} \)

\(= {\log _2}2.{\log _2}{2^2}...{\log _2}{2^n} = 1.2...n = n!\)

Bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

\(a = 15\,\,500\left( {5 - \log p} \right)\),

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascan).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Lời giải chi tiết

Vì đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên ta có:

\(8\,\,850 = 15\,\,500\left( {5 - \log p} \right) \Leftrightarrow 5 - \log p = \frac{{177}}{{310}} \)

\(\Leftrightarrow \log p = \frac{{1373}}{{310}} \Leftrightarrow p = {10^{\frac{{1373}}{{310}}}} = 26855,43912\).

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển là 26855,43912 pascan.

Bài 6.14 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu W/m²) được định nghĩa như sau:

$L\left(I\right)=10\log \frac{I}{I_0}$,

trong đó $I_0={10}^{-12}$ là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ .

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ .

Lời giải chi tiết

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là:

(dB).

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc là:

(dB).