Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ 1

a) Tính $y=2^x$ khi x lần lượt nhận các giá trị - 1; 0; 1. Với mỗi giá trị của x có bao nhiêu giá trị của $y=2^x$ tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức $y=2^x$ có nghĩa?

Phương pháp giải:

Thay các giá trị x lần lượt để tính y.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x=-1$ thì $y=2^{-1}=\frac{1}{2}$.

Với $x=0$ thì $y=2^0=1$.

Với $x=1$ thì $y=2^1=2$.

b) Biểu thức $y=2^x$ có nghĩa với mọi giá trị của x.          

CH

Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ cố.

a) $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x;$

b) $y=2^{-x};$

c) $y=8^{\frac{x}{3}};$

d) $y=x^{-2}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số mũ.

Lời giải chi tiết:

a) $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ là hàm số mũ có cơ số là $\sqrt{2}.$

b) $y=2^{-x}={\left(2^{-1}\right)}^x$ là hàm số mũ có cơ số là $2^{-1}=\frac{1}{2}.$  

c) $y=8^{\frac{x}{3}}={\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^x={\left(\sqrt[3]{38}\right)}^x$ là hàm số mũ có cơ số là $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{38}=2.$

d) $y=x^{-2}$ không là hàm số mũ.

HĐ 2

Cho hàm số mũ $y=2^x.$

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với $x\in R$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số.

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị dựa vào các điểm đã lấy sau đó nhìn đồ thị để đưa ra tập giá trị và tính chất biến thiên.

Lời giải chi tiết:

a)

b)

c) Tập giá trị: $\left(0;+\infty \right)$.

Tính chất biến thiên: Đồng biến.

LT

Vẽ đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$.

Phương pháp giải:

Lập bảng giá trị để vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng giá trị của hàm số tại một điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số:

HĐ 3

a) Tính $y={\log }_{2}x$ khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 4. Với mỗi giá trị của x > 0 có bao nhiêu giá trị của $y={\log }_{2}x$ tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức $y={\log }_{2}x$ có nghĩa?

Phương pháp giải:

Thay các giá trị x lần lượt để tính y.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x=1$ thì $y={\log }_{2}1=0$.

Với $x=2$ thì $y={\log }_{2}2=1$.

Với $x=4$ thì $y={\log }_{2}4=2$.

b) Biểu thức $y={\log }_{2}x$ có nghĩa khi x > 0.

CH

Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$;

b) $y={\log }_{2^{-2}}x$;

c) $y={\log }_{x}2$;

d) $y={\log }_{\frac{1}{x}}5$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số lôgarit.

Lời giải chi tiết:

a) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ là hàm số lôgarit có cơ số $\sqrt{3}$.

b) $y={\log }_{2^{-2}}x$ là hàm số lôgarit có cơ số $2^{-2}=\frac{1}{4}$.

c) $y={\log }_{x}2$ không là hàm số lôgarit.

d) $y={\log }_{\frac{1}{x}}5$ không hàm số lôgarit.

HĐ 4

Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{2}x.$

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{2}x\right)$ với $x\in R$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số $y={\log }_{2}x$.

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị dựa vào các điểm đã lấy sau đó nhìn đồ thị để đưa ra tập giá trị và tính chất biến thiên.

Lời giải chi tiết:

a) Lập bảng giá trị của hàm số tại một điểm như sau:

b, 

c) Tập giá trị: $R$.

Tính chất biến thiên: Đồng biến.

VD

Giải bài toán tình huống mở đầu (kết quả tính theo đơn vị triệu người và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Sự tăng trưởng dân số ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:

$A=P{e}^{rt}$,

trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ: $A=P{e}^{rt}$.

Lời giải chi tiết:

Từ năm 2020 đến năm 2050 là 30 năm.

Ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050 là:

$97,34.e^{0,91\%.30}=127,8950498$ (triệu người).