Bài tập cuối chương VI Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 6.27 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai số thực dương x, y và hai số thực tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. .                                          

B. .

C. .                                       

D. .

Lời giải chi tiết

Đáp án B.

Bài 6.28 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Rút gọn biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}}(x > 0)\) ta được

A. \(\sqrt[4]{x}\).

B. \(\sqrt x \).

C. \(\sqrt[3]{x}\).

D. \(\sqrt[5]{x}\).

Lời giải chi tiết

\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = \sqrt {x.{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = \sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = \sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} :{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = {\left( {{x^{\frac{7}{4}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = {x^{\frac{7}{8}}}:{x^{\frac{5}{8}}} \)

\( = {x^{\frac{1}{4}}} \)

\( = \sqrt[4]{x}\).

Đáp án A.

Bài 6.29 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai số thực dương a, b với $a\ne 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .

B. .

C. .                                 

D. .

Lời giải chi tiết

.

Đáp án: B.

Bài 6.30 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. .                               

B. .

C. . 

D. .

Lời giải chi tiết

Đáp án C.

Bài 6.31 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đặt \({\log _2}5 = a\), \({\log _3}5 = b\). Khi đó, \({\log _6}5\) tính theo \(a\) và \(b\) bằng

A. \(\frac{{ab}}{{a + b}}\).                        

B. \(\frac{1}{{a + b}}\).                            

C. \({a^2} + {b^2}\).                     

D. \(a + b\).

Lời giải chi tiết

\({\log _6}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}6}} \)

\(= \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} \)

\(= \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_2}5}} + \frac{1}{{{{\log }_3}5}}}} \)

\(= \frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)

\(= \frac{1}{{\frac{{a + b}}{{ab}}}}\)

\(= \frac{{ab}}{{a + b}}\).

Đáp án A.

Bài 6.32 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = {2^x}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

B. Tập giá trị của hàm số là \((0; + \infty )\).

C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số mũ không cắt trục Ox.

Đáp án C.

Bài 6.33 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y={\log }_{0,5}x$.                 

B. $y=e^{-x}$.                       

C. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.             

D. $y=\ln x$.

Lời giải chi tiết

Hàm số mũ và hàm số logarit đồng biến trên tập xác định của nó khi cơ số lớn hơn 1.

Chỉ có hàm số y = lnx thỏa mãn với e > 1.

Đáp án D.

Bài 6.34 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đồ thị ba hàm số và như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. .                           

B. .                           

C. .                  

D. .

Lời giải chi tiết

Hàm số nghịch biến nên .

Hàm số ; đồng biến nên .

Với x > 1 ta có:

.

Vậy c < a < b.

Đáp án B

Bài 6.35 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho $0<a\ne 1$. Tính giá trị của biểu thức .

Lời giải chi tiết

.

Bài 6.36 trang 25 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{1 - 2x}} = {4^x}\);                                           

b) \({\log _3}(x + 1) + {\log _3}(x + 4) = 2\).

Lời giải chi tiết

a) \({3^{1 - 2x}} = {4^x}\) (lấy lôgarit cơ số 3 hai vế)

\(\Leftrightarrow {\log _3}{3^{1 - 2x}} = {\log _3}{4^x}\)

\(\Leftrightarrow 1 - 2x = x{\log _3}4\)

\(\Leftrightarrow x{\log _3}4 + 2x = 1\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{{\log }_3}4 + 2} \right) = 1\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_3}4 + 2}} = \frac{1}{{{{\log }_3}4 + {{\log }_3}9}} \)

\(= \frac{1}{{{{\log }_3}36}} = {\log _{36}}3\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\log _{36}}3\).

b) \({\log _3}(x + 1) + {\log _3}(x + 4) = 2\) (ĐK: x > -1)

\(\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {(x + 1)\left( {x + 4} \right)} \right] = 2\)

\(\Leftrightarrow (x + 1)\left( {x + 4} \right) = {3^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 - 9 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 5 }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \frac{{ - 5 - 3\sqrt 5 }}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 5 }}{2}\).

Bài 6.37 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}$;

b) $y=\ln (1-\ln x)$.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là

(vì )

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

b) Điều kiện để hàm số có nghĩa là

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

Bài 6.38 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là một năm thì tổng số tiền ban đầu, sau năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

.

a) Nếu tỉ lệ lạm phát 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Lời giải chi tiết

a) Nếu tỉ lệ lạm phát 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại:

(triệu đồng).

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì:

.

Vậy nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là khoảng 5,13%.

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm và sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa ta có:

.

Vậy nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau 14 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa.

Bài 6.39 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi $N_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu và là số lượng vi khuẩn sau giờ thì ta có:

trong đó là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.

Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:

a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Lời giải chi tiết

Ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con ta có:

.

a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là:

(con).

b) Số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi nên ta có:

.

Vậy sau khoảng 1,47 giờ thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

Bài 6.40 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất \(P\) để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: \(P = \log \frac{{d + 1}}{d}\). (Theo F. Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), \(551 - 572)\).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng \(4,6\% \) (thay \(d = 9\) trong công thức Benford để tính \(P\) ).

a) Viết công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\).

b) Tìm chữ số có xác suất bằng \(9,7\% \) được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

Lời giải chi tiết

a) \(P = \log \frac{{d + 1}}{d} \Leftrightarrow \frac{{d + 1}}{d} = {10^P} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{d} = {10^P} \)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{d} = {10^P} - 1 \Leftrightarrow d = \frac{1}{{{{10}^P} - 1}}\).

b) Chữ số có xác suất bằng \(9,7\% \) nên ta có P = 9,7%. Từ ý a suy ra:

\(d = \frac{1}{{{{10}^{9,7\% }} - 1}} \approx 4\).

Vậy chữ số 4 có xác suất bằng \(9,7\% \) được chọn.

c) Xác suất để chữ số đầu tiên là 1:

\(P = \log \frac{{1 + 1}}{1} \approx 0,3\).