Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\le$ M với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f\left(x_0\right)$ = M. Kí hiệu M = $\underset{x\in D}{max}f\left(x\right)$ hoặc M = ${max}_{D}f\left(x\right)$. - Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\ge$ m với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f\left(x_0\right)$ = m. Kí hiệu m = $\underset{x\in D}{min}f\left(x\right)$ hoặc m = $\underset{D}{min}f\left(x\right)$.

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$.

Tập xác định của hàm số là $\left[-1;1\right]$.

Ta có:

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$ $\ge$ 0; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=0$, tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $\underset{x\in \left[-1;1\right]}{min}f\left(x\right)=f(-1)=f\left(1\right)=0$

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$ $\le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=1$, tức x = 0.

Do đó $\underset{x\in \left[-1;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$.

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên $\left[a;b\right]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[a;b\right]$ mà đạo hàm f’(x) = 0. Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $\left[a;b\right]$: Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n\in (a;b)$, tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại. Tính $f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...,f\left(x_n\right),f\left(a\right)$ và $f\left(b\right)$. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = $\underset{\left[a;b\right]}{max}f\left(x\right)$; m = $\underset{\left[a;b\right]}{min}f\left(x\right)$

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[0;4\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x=4x(x^2-2)$;

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc (vì ).

; ; .

Do đó: ; .

Giải câu hỏi mở đầu trang 15 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính độ dài cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa.

Điều kiện 0 < x < 30.

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 – 2x) (cm) và chiều cao bằng x (cm).

Thể tích của chiếc hộp này là:

$V\left(x\right)=(60-2x{)}^2.x=4x^3-240x^2+3600x$ $\left(c{m}^3\right)$.

Ta có $V^{\prime }\left(x\right)=12x^2-480x+3600=0$

$\iff$ x = 0 (loại) hoặc x = 10 (thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Vậy để thể tích của chiếc hộp lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

Giải mục 1 trang 15, 16, 17 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 17, 18, 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=-x^2+4x+3$;

b) $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\infty \right)$;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên ;

d) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: , khi đó .

Do đó, , hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của trên .

Ta có: ,

Bảng biến thiên:

Do đó, , hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: .

(do ).

Do đó, , hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

d) Tập xác định của hàm số là: .

.

.

, , .

Do đó, , .

Giải bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+3$;

b) $y=x.e^{-x}$;

c) $y=x\ln x$;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải chi tiết

a) $y^{\prime }=4x^3-4x$;

; .

Do đó, , hàm số không có giá trị lớn nhất vì .

b) Ta có: ;

.

Bảng biến thiên:

Do đó, , hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là: .

,

(thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, .

d) Tập xác định của hàm số là .

,

(thỏa mãn).

; ; .

Do đó, , .

Giải bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) trên đoạn ;

b) trên đoạn ;

c) trên đoạn ;

d) trên đoạn .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ;

(thỏa mãn).

, , .

Do đó, , .

b) Ta có: ;

(do ).

; ; .

Do đó, , .

c) Ta có: ;

.

Mà .

; ; ; .

Do đó, , .

d)

.

(do ).

; ; .

Do đó, , .

Giải bài tập 1.13 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, 0 < x < 12).

Chiều rộng của hình chữ nhật là 12 - x (cm).

Diện tích của hình chữ nhật là:

.

Đặt , .

;

(TM).

Bảng biến thiên: 

Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 36 .

Giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 $c{m}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, ) và chiều cao là h (cm, ).

Diện tích bề mặt của hình hộp là nên:

(cm).

Thể tích của hình hộp là:

.

Ta có: ;

(do ).

Bảng biến thiên:

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy cm.

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: (cm).

Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 $c{m}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/. Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, x > 0).

Chiều cao của bình là: (cm).

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là:

(nghìn đồng).

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

;

(thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là (cm) và chiều cao của bình là (cm).