Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.30 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b).

B. Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b).

C. Hàm số đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc (a; b).

D. Hàm số đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc (a; b).

Lời giải chi tiết

Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b).

Chọn B

Giải bài tập 1.31 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Lời giải chi tiết

Hàm số có:

.

Vì

.

Suy ra y' < 0 .

Do đó, hàm số nghịch biến trên .

Chọn A.

Giải bài tập 1.32 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y=\left|x\right|$.

B. $y=x^4$.

C. $y=-x^3+x$.

D. $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Lời giải chi tiết

Hàm số có với mọi nên hàm số không có cực trị.

Đáp án D

Giải bài tập 1.33 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là

A. $\frac{1}{e}$.

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Tập xác định: .

Ta có:

.

(do ).

Bảng biến thiên:

Chọn C

Giải bài tập 1.34 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 3] là:

A. 0.

B. .

C. .

D. e.

Lời giải chi tiết

Ta có: ;

hoặc .

; ; ; .

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 3] là .

Chọn B

Giải bài tập 1.35 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn: $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=1$; $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=1$; $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

Vì , nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, vì nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Chọn B

Giải bài tập 1.36 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Lại có:

;

.

Do đó, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .

Chọn D

Giải bài tập 1.37 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

B. Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

C. Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

D. Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

Vì ; nên đường thẳng không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn D

Giải bài tập 1.38 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:

A. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).

B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).

C. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

D. \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số trong hình 1.37 có tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Xét hàm số: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Đường thẳng \(y = 2\) không là tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\); \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\); \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).

Chọn B

Giải bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

A. $y=x-\frac{1}{x+1}$.

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 có dạng: và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu. Do đó, loại đáp án B.

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm . Do đó, loại đáp án C.

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm (0; 1). Do đó, loại đáp án A.

Hàm số có:

+ ; .

Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+

;

.

Do đó, đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D

Giải bài tập 1.40 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^3-3x^2+3x-1$;

b) $y=x^4-2x^2-1$;

c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$;

d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3{\left(x-1\right)}^2$;

$y^{\prime }=0\iff x=1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ đồng biến trên R.

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là $D=R$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x$;

Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Hàm số đạt cực đại tại và .

Hàm số đạt cực tiểu tại và .

c) Tập xác định: .

Ta có: , .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên và .

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: .

Ta có: .

(thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Hàm số đạt cực đại tại và .

Hàm số đạt cực tiểu tại và .

Giải bài tập 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) trên nửa khoảng ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: .

Do đó , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng .

b) Tập xác định: .

(thỏa mãn).

; .

Vậy:

;

.

Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$;

b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=-\infty$;

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=+\infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ là đường thẳng $x=-1$.

Ta có:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$;

nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đường thẳng .

b) Ta có: ;

.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng .

Ta có: .

+) ;

+) .

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng .

Ta có:

;

.

 Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Giải bài tập 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+6x^2-9x+12$;

b) $y=\frac{2x-1}{x+1}$;

c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$.

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định: $D=R$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+12x-9$;

$y^{\prime }=0\iff -3x^2+12x-9=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}$

Trên khoảng $\left(1;3\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=3$, giá trị cực đại $y_{CD}=12$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=8$.

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{12}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{12}{x^3}\right)\right]=-\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+6x^2-9x+12$ với trục tung là (0; 12).

Đồ thị hàm số $y=-x^3+6x^2-9x+12$ đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 1. Tập xác định của hàm số: $R\setminus \left\{-1\right\}$.

2. Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>0$, $\forall x\ne -1$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x-1}{x+1}=2$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x-1}{x+1}=2$;

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty$;

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=-\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=2$ làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;-1\right)$.

$y=0\iff \frac{2x-1}{x+1}=0\iff x=\frac{1}{2}$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 

c) 1. Tập xác định của hàm số: $R\setminus \left\{1\right\}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$;

, .

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng và .

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

;

;

;

;

;

.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng và đường thẳng làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

hoặc .

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (0; 0) và (2; 0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giải bài tập 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$.

a) Viết công thức tính $q=g\left(p\right)$ như một hàm số của biến $p\in \left(f;+\infty \right)$.

b) Tính các giới hạn $\underset{p\to +\infty }{lim}g\left(p\right),\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q=g\left(p\right)$ trên khoảng $\left(f;+\infty \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: . Do đó, với .

b) ;

.

Ý nghĩa của : Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của : Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có: , nên hàm số nghịch biến trên .

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: (N(t) được tính bằng triệu người, ).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm?

Lời giải chi tiết

a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là:

(triệu người).

Dân số của quốc gia vào năm 2035 là:

(triệu người).

b) Trên đoạn [0; 50] ta có:

, .

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Ta có: .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

.

Vậy vào năm 2047 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Giải bài tập 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Đặt MB = x (km; \( {0 \le x \le 10}\)).

Khi đó, AM = 10 - x (km);

\(MC = \sqrt {M{B^2} + C{B^2}}  = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km).

Khi đó, chi phí nối điện từ A đến C là:

\(f\left( x \right) = 30\left( {10 - x} \right) + 50\sqrt {{x^2} + 16} \) (triệu đồng).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = \frac{3}{5} \)

\(\Leftrightarrow 25{x^2} = 9{x^2} + 144\)

\(\Leftrightarrow x = 3\) (do \(0 \le x \le 10\)).

Ta có: f(0) = 500; f(3) = 460; \(f\left( {10} \right) = 100\sqrt {29} \) nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi x = 3.

Vậy M cách B một khoảng 3 km trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.