Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Toán 12 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x}$ có đồ thị (C). Với $x>0$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y=2$ (H.1.19).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x\to +\infty$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M\left(x;\frac{2x+1}{x}\right)$; $H\left(x;2\right)$.

Do đó, $MH=\sqrt{{\left(x-x\right)}^2+{\left(2-\frac{2x+1}{x}\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(\frac{2x-2x-1}{x}\right)}^2}=\frac{1}{x}$ (do $x>0$).

b) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x}=0$. Do đó, khi $x\to +\infty$ thì $MH\to 0$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$.

Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$ là $y=2$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số $y=m\left(t\right)=15e^{-0,012t}$. Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi $t\to +\infty$? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{t\to +\infty }{lim}m\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{lim}15e^{-0,012t}=\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{15}{e^{0,012t}}=0$

Do đó, $m\left(t\right)\to 0$ khi $t\to +\infty$.

Trong hình 1.18, khi $t\to +\infty$ thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị (C). Với $x>1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $x=1$ (H.1.22).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M\left(x;\frac{x}{x-1}\right)$; $H\left(1;\frac{x}{x-1}\right)$.

Do đó, $MH=\sqrt{{\left(1-x\right)}^2+{\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x-1}\right)}^2}=x-1$ (do $x>1$).

b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra $+\infty$).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$ là $y=2$.

$\underset{x\to 4^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x-4}=+\infty$;

$\underset{x\to 4^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-4}=-\infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$ đường thẳng $x=4$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left(p\right)=\frac{45p}{100-p}$ (triệu đồng), với $0\le p<100$. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: ; ; ; .

Lời giải chi tiết:

Ta có: nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là .

Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng như Hình 1.24.

a) Với , xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng . Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi ?

b) Chứng tỏ rằng . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có:

.

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng tiến đến 0 khi .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số nếu hoặc . 

Lời giải chi tiết:

Ta có: ;

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng .

Ta có: .

;

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng .