Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Toán 12 Kết nối tri thức

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t). - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời (độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t. - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t. - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1.

Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là .

a) Tìm vận tốc của vật sau 2s.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s).

b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại . Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).

c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là hay (s).

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn.

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa

Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x). Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Ví dụ 1: Một tập chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tập chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi công thức , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Giả sử T(x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. Tỉ số được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.

Lời giải:

Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là

.

Ta có

, với .

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi x = 10000 (cuốn).

Ví dụ 2: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và thể tích là 4000 . Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Lời giải:

Thể tích của hộp là ().

Suy ra chiều cao của hộp là (cm).

Diện tích xung quanh của hộp là

().

Chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất khi diện tích xung quanh hình hộp nhỏ nhất.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của S(x).

Ta có

.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để tốn ít bìa nhất thì cạnh hình vuông có chiều dài x = 20 (cm).

Giải câu hỏi mở đầu trang 33 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi p (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; x là số khán giả mua vé.

Ta cần xác định hàm cầu p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất.

Giá vé $p_1=100$ ứng với $x_1=27000$ và giá vé ứng với .

Đường thẳng p = ax + b đi qua hai điểm (27 000; 100) và (30 000; 90) nên ta có:

.

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là:

.

Ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

.

Bảng biến thiên:

Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.

Giải mục 1 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 36 SGK Toán 12 Cánh diều

Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số \(P\left( t \right) = \frac{{25{t^2} + 125}}{{{t^2} + 1}},0 \le t \le 10\), trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Lời giải chi tiết

Hàm số thể hiện tốc độ thay đổi của huyết áp là:

\(y = P'\left( t \right) = \frac{{50t\left( {{t^2} + 1} \right) - 2t\left( {25{t^2} + 125} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 200t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là: \(y\left( 5 \right) = \frac{{ - 200.5}}{{{{\left( {{5^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 250}}{{169}}\).

Giải mục 2 trang 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.26 trang 40 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là $y=t^3-12t+3\text{0},\text{(}t\ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian .

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải chi tiết

a) Hàm vận tốc là: , .

Hàm gia tốc là: , .

b) Hạt chuyển động lên trên khi (do ).

Hạt chuyển động xuống dưới khi (do ).

c) Bảng biến thiên:

Từ t = 0 đến t = 2, vật chuyển động từ toạ độ y = 3 đến toạ độ y = -13, tức là vật đi được quãng đường 16 đơn vị độ dài.

Từ t = 2 đến t = 3, vật chuyển động từ toạ độ y = -13 đến toạ độ y = -6 , tức là vật đi được quãng đường 7 đơn vị độ dài.

Do đó, trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 vật đi được quãng đường 23 đơn vị độ dài, tức là quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 là 23 m.

d) Hạt tăng tốc khi tăng hay Do đó, .

Hạt giảm tốc khi giảm hay (không thỏa mãn do ).

Giải bài tập 1.27 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: $C\left(x\right)=23000+50x-0,5x^2+0,00175x^3$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Lời giải chi tiết

a) Hàm chi phí biên là: $C^{\prime }\left(x\right)=0,00525x^2-x+50$.

b) Ta có: $C^{\prime }\left(100\right)=0,{00525.100}^2-100+50=2,5$ (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ 101 là:

(trăm nghìn đồng).

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(100) đã tính ở câu b.

Giải bài tập 1.28 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi $x$ là số lần tăng giá 100 nghìn đồng $(0\le x\le 100)$.

Khi đó, số căn được cho thuê là: $100-x$ (căn).

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$\left(100-x\right)\left(8000000+100000x\right)$

$=100000\left(100-x\right)\left(80+x\right)$

$=100000\left(-x^2+20x+8000\right)$

$=100000\left[-{\left(x-10\right)}^2+8100\right]$

$\le 810000000$ với mọi $x>0$.

Dấu “=” xảy ra khi $x=10$ (thỏa mãn).

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là:

$8000000+100000.10=9000000$ (đồng).

Cách khác:

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$f\left(x\right)=(100-x)(8000000+100000x)$

$=100000(-x^2+20x+8000)$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=100000(-2x+20)=0\iff x=10$.

Theo bảng biến thiên, thấy f(x) đạt GTLN tại x = 10.

Từ đó kết luận như trên.

Giải bài tập 1.29 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức $p=\frac{354}{1+0,01x}$, , trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn .

Lời giải chi tiết

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

Vì

.

Tập xác định của hàm số là: .

Với ta có: .

Vậy với giá bán mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng thì bán được 47,5 đơn vị sản phẩm.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số: .

1. Tập xác định của hàm số: .

2. Sự biến thiên:

Ta có: với mọi .

Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: .

Do đó, đồ thị hàm số với nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (354; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (300; 18); (200; 77).

Đồ thị hàm số với là đường màu xanh:

 

- Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng, và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng.

- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn : Vì nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.