Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số Toán 8 kết nối tri thức

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân thức đại số SGK Toán 8 - Kết nối tri thức

1. Nhân hai phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

Chú ý:  Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích dưới dạng rút gọn.

2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{C}{D}.\frac{A}{B}\)

- Kết hợp: \(\left( {\frac{A}{B}.\frac{C}{D}} \right).\frac{E}{F} = \frac{A}{B}.\left( {\frac{C}{D}.\frac{E}{F}} \right)\)

- Tính chất phân phối đối với phép cộng: \(\frac{A}{B}.\left( {\frac{C}{D} + \frac{E}{F}} \right) = \frac{A}{B}.\frac{C}{D} + \frac{A}{B}.\frac{E}{F}\)

Ví dụ:

\(\frac{{2xz}}{{3y}}.\frac{{ - 6{y^3}}}{{8{x^2}z}} = \frac{{2xz.( - 6{y^3})}}{{3y.8{x^2}z}} = \frac{{ - {y^2}}}{{2x}}\);

\(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x}}.\frac{{2x}}{{x - 1}} = \frac{{(x - 1)(x + 1).2x}}{{x(x + 4)(x - 1)}} = \frac{{2(x + 1)}}{{x + 4}}\)

3. Chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) khác 0, ta nhân phân thức \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{D}{C}\):        

\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\), với \(\frac{C}{D} \ne 0\).

Nhận xét: \(\frac{C}{D}.\frac{D}{C} = 1.\) Ta nói \(\frac{D}{C}\) là phân thức nghịch đảo của  \(\frac{C}{D}\).

Ví dụ:

1)

\(\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 2}}:\frac{{x - 3}}{x} \\= \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x - 2}}.\frac{x}{{x - 3}} \\= \frac{{(x - 3)(x + 3).x}}{{(x - 2)(x - 3)}} \\= \frac{{x(x + 3)}}{{x - 2}}\)

2)

\(\frac{x}{{{z^2}}}.\frac{{xz}}{{{y^3}}}:\frac{{{x^3}}}{{yz}} \\= \frac{x}{{{z^2}}}.\frac{{xz}}{{{y^3}}}.\frac{{yz}}{{{x^3}}} \\= \frac{{x.xz.yz}}{{{z^2}.{y^3}.{x^3}}} \\= \frac{{{x^2}y{z^2}}}{{{x^3}{y^3}{z^2}}} \\= \frac{1}{{x{y^2}}}\)

Giải câu hỏi mở đầu trang 20 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vuông: \(\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\frac{{x - 1}}{x} = ?\)

Pi: Nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau

Tròn: Thế cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số nhỉ?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right).x}}\)

Vậy nhận định của cả Pi và tròn đều đúng

Giải mục 1 trang 20 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài 6.26 trang 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Làm tính nhân phân thức:

Lời giải chi tiết

Giải bài 6.27 trang 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thực hiện phép tính:

Lời giải chi tiết

b)

.

Giải bài 6.28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hai phân thức P, Q thỏa mãn:

a) $P.\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^2+x}{4x^2-1}$

b) $Q:\frac{x^2}{x^2+4x+4}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x^2-2x}$

Lời giải chi tiết

a) $P.\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^2+x}{4x^2-1}$

b)

Giải bài 6.29 trang 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai phân thức $P=\frac{x^2+6x+9}{x^2+3x}$ và

a) Rút gọn P và Q

b) Sử dụng kết quả câu a, Tính P.Q và P:Q

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

b) Ta có:

Giải bài 6.30 trang 22 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trở lại tình huống trong Vận dụng

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng

b) Trong công thức tính lãi suất năm nói trên, hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện x > 0, y > 0, xy > 1200. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này

Lời giải chi tiết

a) Nếu trả mỗi tháng 15 triệu đồng trong 10 năm (tức là 120 tháng) thì lãi suất năm tính theo % của khoản vay là giá trị của $r=\frac{xy-1200}{100y}$ tại x = 15; y = 120 và bằng $r=\frac{15.120-1200}{100.120}=\frac{5}{100}=5%$.

Thực tế, tổng số tiền người vay trả sau 10 năm là 15.120 = 1 800 triệu đồng = 1,8 tỉ đồng, chênh (cao hơn) so với khoản vay 1,2 tỉ đồng là 0,6 tỉ đồng = 600 triệu đồng.

b) Vì x = số tiền trả mỗi tháng; y là số tháng trả góp nên x, y là số dương. Ngoài ra, xy là số tiền người vay trả sau y tháng nên nếu xy $\le $ 1 200 thì số tiền trả chưa đủ hoàn hết số tiền vay 1,2 tỉ đồng, người cho vay không có lãi hoặc lỗ. Vì vậy, trong công thức tính lãi suất năm $r=\frac{xy-1200}{100y}$, hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện: x > 0; y > 0; xy > 1 200.