Bài tập & lời giải SGK: Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trang 63 SGK Toán 7 kết nối tri thức

Q: HĐ - Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d. a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d. b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM

Phương pháp giải: Áp dụng: Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Lời giải chi tiết: a) b) Trong tam giác AHM có $\widehat {AHM} = 90^\circ $ nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AM đối diện với góc AHM nên là cạnh lớn nhất ( trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất) $ \Rightarrow AM > AH$ Vậy AH < AM

Q: Luyện tập - Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10 a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC. b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM. c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Lời giải chi tiết: a) Đường vuông góc kẻ từ A đến BC là: AB Đường xiên kẻ từ A đến BC là: AM b) AB < AM (Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.) c) Vì CB $ \bot $ AB nên khoảng cách từ C đến AB là độ dài CB = 2 cm

Q: Giải bài 9.6 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không? Độ dài của đường vuông góc kẻ từ 1 điểm đến 1 đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng. Có vì chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện nên là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Q: Vận dụng - Tình huống mở đầu Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi OA, OB, OC. Biết rằng OA vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9.8) Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?

Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Lời giải chi tiết: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến bờ bên kia của bể bơi thì OA là đường vuôn góc nên ngắn nhất ( Định lí)

Q: Giải bài 9.7 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C? b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD? a) Tìm đỉnh cách đều hai điểm A và C b) Tìm đỉnh mà đường vuông góc kẻ từ đỉnh đó xuống hai đường thẳng AB và AD bằng nhau. Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA ( tính chất) a) Ta có: +) BA = BC nên đỉnh B cách đều hai điểm A và C +) DA = DC nên đỉnh D cách đều hai điểm A và C Vậy đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C b) +) Vì CB = CD nên khoảng cách từ C đến 2 đường thẳng AB và AD bằng nhau. Do đó đỉnh C cách đều 2 đường thẳng AB và AD. +) Khoảng cách từ A đến AB bằng khoảng cách từ A đến AD ( bằng 0) nên A cách đều hai đường thẳng AB và AD. Vậy đỉnh C và đỉnh A cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Q: Thử thách nhỏ - a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN. b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?

Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Lời giải chi tiết: +) TH1: M nằm giữa H và N: Vì góc AMN là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên $\widehat{AMN} = \widehat{MAH} + \widehat{AHM} > \widehat{AHM} = 90^0$ hay $\widehat{AMN}$ là góc tù. Xét tam giác AMN có $\widehat{AMN}$ là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AN đối diện với $\widehat{AMN}$ nên là cạnh lớn nhất trong tam giác (định lí) Vậy AM < AN +) TH2: H nằm giữa M và N: Lấy điểm M’ trên d sao cho HM’ = HM. Ta được AH là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ nên AM = AM’ ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) Hơn nữa, AM’ < AN ( theo trường hợp 1) AM < AN Vậy AM < AN. b) Theo câu a, khi M thay đổi trên BC, M càng xa B thì AM càng lớn. Khi M trùng C thì M xa B nhất nên khi đó AM là lớn nhất.

Q: Giải bài 9.9 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC ( M,N không phải là đỉnh của tam giác) (H. 9.13) . Chứng minh rằng MN < BC. Sử dụng: + Góc tù là góc lớn nhất trong tam giác + Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất Ta có: Góc NMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên góc NMB là góc tù. Góc BNC là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác ABN nên góc BNC là góc tù. Xét tam giác MNB có góc NMB là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh NB đối diện với góc NMB nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NM < NB.(1) Xét tam giác CNB có góc BNC là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh CB đối diện với góc BNC nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NB < CB.(2) Từ (1) và (2) ta được NM < CB. Vậy MN < BC.

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 1

Giải câu hỏi trang 63,64 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 1 trên Tri Thức Hub.

Question 2

HĐ - Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d. a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d. b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Áp dụng: Trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:
a) b) Trong tam giác AHM có $\widehat {AHM} = 90^\circ $ nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AM đối diện với góc AHM nên là cạnh lớn nhất ( trong 1 tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất) $ \Rightarrow AM > AH$ Vậy AH < AM

Question 3

Luyện tập - Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10 a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC. b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM. c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:
a) Đường vuông góc kẻ từ A đến BC là: AB Đường xiên kẻ từ A đến BC là: AM b) AB < AM (Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.) c) Vì CB $ \bot $ AB nên khoảng cách từ C đến AB là độ dài CB = 2 cm

Question 4

Giải bài 9.6 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không? Độ dài của đường vuông góc kẻ từ 1 điểm đến 1 đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng. Có vì chiều cao của tam giác ứng với một cạnh là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện nên là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 5

Vận dụng - Tình huống mở đầu Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi OA, OB, OC. Biết rằng OA vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9.8) Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến bờ bên kia của bể bơi thì OA là đường vuôn góc nên ngắn nhất ( Định lí)

Question 6

Giải bài 9.7 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C? b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD? a) Tìm đỉnh cách đều hai điểm A và C b) Tìm đỉnh mà đường vuông góc kẻ từ đỉnh đó xuống hai đường thẳng AB và AD bằng nhau. Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA ( tính chất) a) Ta có: +) BA = BC nên đỉnh B cách đều hai điểm A và C +) DA = DC nên đỉnh D cách đều hai điểm A và C Vậy đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C b) +) Vì CB = CD nên khoảng cách từ C đến 2 đường thẳng AB và AD bằng nhau. Do đó đỉnh C cách đều 2 đường thẳng AB và AD. +) Khoảng cách từ A đến AB bằng khoảng cách từ A đến AD ( bằng 0) nên A cách đều hai đường thẳng AB và AD. Vậy đỉnh C và đỉnh A cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 7

Thử thách nhỏ - a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN. b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?

Accepted Answer

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất.

Lời giải chi tiết:
+) TH1: M nằm giữa H và N: Vì góc AMN là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên $\widehat{AMN} = \widehat{MAH} + \widehat{AHM} > \widehat{AHM} = 90^0$ hay $\widehat{AMN}$ là góc tù. Xét tam giác AMN có $\widehat{AMN}$ là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh AN đối diện với $\widehat{AMN}$ nên là cạnh lớn nhất trong tam giác (định lí) Vậy AM < AN +) TH2: H nằm giữa M và N: Lấy điểm M’ trên d sao cho HM’ = HM. Ta được AH là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ nên AM = AM’ ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) Hơn nữa, AM’ < AN ( theo trường hợp 1) AM < AN Vậy AM < AN. b) Theo câu a, khi M thay đổi trên BC, M càng xa B thì AM càng lớn. Khi M trùng C thì M xa B nhất nên khi đó AM là lớn nhất.

Question 8

Giải bài 9.8 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C. ( H. 9.12) a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất. b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB Sử dụng định lí: + Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. + Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Kẻ $AH \bot BC$. a) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ A điểm nằm ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng BC thì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên AM ngắn nhất khi M trùng H hay M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. b) Cách 1: +) Khi M trùng H thì AH < AB ( đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên) +) Khi M nằm giữa B và H Góc AMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên $\widehat{AMB}>\widehat{AHM}= 90^0$ nên $\widehat{AMB}$ là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ABM. Trong tam giác ABM, cạnh AB đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AB lớn nhất (định lí). Do đó AM < AB. +) Khi M nằm giữa C và H Góc AMC là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM nên $\widehat{AMC}>\widehat{AHM}= 90^0$ nên $\widehat{AMC}$ là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác ACM Trong tam giác ACM, cạnh AC đối diện với góc lớn nhất nên cạnh AC lớn nhất (định lí). Do đó AM < AC. Mà AB = AC (gt) $\Rightarrow $ AM < AB Vậy AM < AB Cách 2: Theo thử thách nhỏ trang 64, khi M thay đổi trên BC, M càng xa H thì AM càng lớn lên. Tuy nhiên, M nằm giữa B và C nên AM không vượt quá AB. Như vậy, AM < AB

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 9

Giải bài 9.9 trang 65 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức - Đề bài Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC ( M,N không phải là đỉnh của tam giác) (H. 9.13) . Chứng minh rằng MN < BC. Sử dụng: + Góc tù là góc lớn nhất trong tam giác + Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất Ta có: Góc NMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên góc NMB là góc tù. Góc BNC là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác ABN nên góc BNC là góc tù. Xét tam giác MNB có góc NMB là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh NB đối diện với góc NMB nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NM < NB.(1) Xét tam giác CNB có góc BNC là góc tù nên là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh CB đối diện với góc BNC nên là cạnh lớn nhất trong tam giác. Ta được NB < CB.(2) Từ (1) và (2) ta được NM < CB. Vậy MN < BC.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 9 trên Tri Thức Hub.

Question 10

Lý thuyết quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Toán 7 Kết nối tri thức - 1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên Từ $A$ không nằm trên $d$, kẻ một đường thẳng vuông góc với $d$ tại $H$. Trên $d$ lấy điểm $B$ không trùng với $H$. Khi đó: + Đoạn $AH$ gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $d$. + Đoạn $AB$ gọi là đường xiên kẻ từ $A$ đến $d$ + Đoạn $HB$ gọi là hình chiếu của đường xiên $AB$ lên đường thẳng $d$. 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. 3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó; a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 4. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Chỉ ra hai đường xiên bằng nhau hoặc hai hình chiếu bằng nhau Ta sử dụng: “Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.” Dạng 2: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu Ta sử dụng định lý: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: + Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn + Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn + Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Dạng 3: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Ta sử dụng định lý: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

Accepted Answer

Xem hướng dẫn giải chi tiết cho Bài 6 trên Tri Thức Hub.

Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trang 63

Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi

Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trang 63

Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 7

Đánh giá độ hữu ích của lời giải

Em đã nắm chắc bài học chưa?

Bài học cùng chuyên đề: Chương IX. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan

Trắc nghiệm củng cố: Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trang 63

Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 7

Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 7 Lớp LOP7

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub