Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trang 72

Giải mục 1 trang 72 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 74,75 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài 9.20 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp vào chỗ chấm hỏi để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Lời giải chi tiết

Vì G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP\)

Ta có: \(GN = BN – BG = BN - \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{1}{3}BN;\\ GP = CP – CG = CP - \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{1}{3}CP\)

Do đó, \(BN = 3. GN ; CP = 3. GP\)

Như vậy, \(BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2}{3}.3.GN = 2GN;\\CG = \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}.3.GP = 2GP\)

Vậy \(BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP\);

\(BG = 2GN; CG = 2GP\).

Giải bài 9.21 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải chi tiết

a) 

Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \)MA = MC = \(\dfrac{1}{2}\)AC; NA = NB = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC ( tính chất)

Do đó, AM = MC = NA = NB

Xét \(\Delta \)ANC và \(\Delta \)AMB, ta có:

AN = AM

\(\widehat A\) chung

AC = AB

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ANC = \(\Delta \)AMB (c.g.c)

\( \Rightarrow \) NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) 

Vì \(∆ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G\)

\(\Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(\Rightarrow  GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Mà \(BM = CN\) (giả thiết) nên \(GB = GC.\)

Tam giác \(GBC\) có \(GB = GC\) nên \(∆GBC\) cân tại \(G\).

\(\Rightarrow \) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét \(∆BCN\) và \(∆CBM\) có: 

+) \(BC\) là cạnh chung

+) \(CN = BM\) (giả thiết)

+) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(∆BCN = ∆CBM\) (c.g.c)

 \(\Rightarrow \) \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (hai góc tương ứng).

\(\Rightarrow ∆ABC\) cân tại \(A\) (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)

Vậy tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Giải bài 9.22 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác BGC có \( \widehat {GBC} > \widehat {GCB} \) suy ra CG > BG (1)

Hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên theo định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\( CG = \frac{2}{3}CN; BG = \frac{2}{3}BM\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CN > BM.

Giải bài 9.23 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng 120\(^\circ \).

Lời giải chi tiết

Vì BI là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}\)

Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

\(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \widehat {BAC}\) \(= 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = \dfrac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác BIC, ta có:

\(\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BIC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}} \right)\) \(= 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ \)

Vậy \(\widehat {BIC} = 150^\circ \)

Giải bài 9.24 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; ( tính chất)

Vì BE là là tia phân giác của góc ABC nên

Vì CF là tia phân giác của góc ACB nên

Do đó,

Xét và , ta có:

chung

AB = AC

BE = CF ( 2 cạnh tương ứng)

Giải bài 9.25 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)

Lời giải chi tiết

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}\)

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta BDP\) vuông tại P và \(\Delta BDR\) vuông tại R, ta có:

\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\)

BD chung

nên \(\Delta BDP = \Delta BDR\) (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra DP = DR (2 cạnh tương ứng) (1)

b) Xét \(\Delta CDP\) vuông tại P và \(\Delta CDQ\) vuông tại Q, ta có:

 \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}\)

CD chung

nên \(\Delta CDP = \Delta CDQ\) (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra DP = DQ ( 2 cạnh tương ứng) (2)

c) Từ (1) và (2), ta được: DR = DQ (cùng bằng DP).

D nằm trên tia phân giác của góc A do D cách đều AB và AC.