Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác trang 77

Câu hỏi

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực

Phương pháp giải:

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

HĐ 1

Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Phương pháp giải:

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

HĐ 2

Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)

a) Tại sao OB = OC, OC = OA.

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không?

Phương pháp giải:

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC

a) Chứng minh \(\Delta OBM = \Delta OCM\)(c – g – c), \(\Delta OAN = \Delta OCN\)(c – g – c)

b) Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đấy.

Lời giải chi tiết:

a)

Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AC.

Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OCM\) có:

BM = CM (gt)                                                                                           

\(\widehat {OMB} = \widehat {OMC} = {90^0}\)

OM chung

\( \Rightarrow \Delta OBM = \Delta OCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow OB = OC\)(cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: \(\Delta OAN = \Delta OCN\) (c – g – c) \( \Rightarrow OA = OC\) (cạnh tương ứng)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OC\\OB = OC\end{array} \right.\left( {cmt} \right) \Rightarrow OA = OB\)

\( \Rightarrow O\) cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB

\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Luyện tập 1

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng: Trong tam giác cân ABC cân tại A, đường trung tuyến BN cũng là đường trung trực của AC

Từ đó chứng minh G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA

Tam giác ABC cân tại B có BN là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BN\)là đường trung trực của đoạn thẳng AC

Tam giác BAC cân tại A có AP là đường trung tuyến

\( \Rightarrow AP\)là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Mà \(BN \cap AP = G\)

\( \Rightarrow G\)là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

\( \Rightarrow GA = GB = GC\).

Vận dụng 1

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Địa điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà

Lời giải chi tiết:

3 ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là tam giác ABC.

Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy, ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.

TTN

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA=QB=QC

Vì QA=QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vì QA=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vì QB=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Câu hỏi

Mỗi tam giác có mấy đường cao?

Phương pháp giải:

Đường cao là đoạn thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.

Lời giải chi tiết:

Ứng với 1 cạnh của tam giác, ta có 1 đường cao

Vậy mỗi tam giác có 3 đường cao.

HĐ 3

Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không ?

Phương pháp giải:

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện

Lời giải chi tiết:

Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi qua điểm H.

Luyện tập 2

a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh A thuộc đường trung trực BC nên AD là đường cao.

Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta ACD\) từ đó suy ra AD là phân giác góc A

b) Điểm cách đều ba đỉnh là giao của ba đường trung trực trong tam giác GA = GB = GC

Sử dụng kết quả ý a, chứng minh G là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC

Lời giải chi tiết:

a) Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt BC tại D

Ta có: Tam giác ABC cân nên AB = AC

\( \Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)

\( \Rightarrow AD\)là đường trung trực của BC.

Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACD\)có:

AB = AC (gt)

BD = CD (gt)

AD: cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - c - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)

\( \Rightarrow \)AD là tia phân giác góc BAC.

Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b)

Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA

Tam giác ABC cân tại A có AN là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \) AN là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (cm ở ý a)

Tương tự: BP, CM lần lượt là đường phân giác xuất phát từ B và C của tam giác ABC

Mà AN cắt BP tại G

\( \Rightarrow G\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC

\( \Rightarrow G\) cách đều ba cạnh của tam giác ABC (Tính chất)