Luyện tập chung trang 82

Giải bài 9.31 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Từ A kẻ đường thẳng m vuông góc với BC tại trung điểm D của BC.

\( \Rightarrow \) AD là đường trung tuyến của BC.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\\AD:chung\\BD = CD\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AB = AC\)(2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ABC\)cân tại A (đpcm). 

Giải bài 9.32 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác MNC có 2 đường cao CA và NB cắt nhau tại B

suy ra B là trực tâm của tam giác MNC

Do đó \(MB \bot CN\)

Giải bài 9.33 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có một mảnh tôn hình tròn cần đục lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

Lời giải chi tiết

-Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.

- Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.

Giải bài 9.34 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải chi tiết

Gọi AM là tia đối của AC. At là đường phân giác của \(\widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {MAt} = \widehat {BAt}\)

Ta có: \(At\parallel BC\) nên:

\(\widehat {ABC} = \widehat {BAt}\)(Hai góc so le trong)

\(\widehat {ACB} = \widehat {MAt}\)(Hai góc đồng vị)

Mà \(\widehat {MAt} = \widehat {BAt}\)\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Vậy tam giác ABC cân tại A ( Dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Giải bài 9.35 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Kí hiệu \({S_{ABC}}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chúng minh \({S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)

Gợi ý: Sử dụng \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) để chứng minh \({S_{GMB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}},{S_{GCM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\).

b) Chứng minh \({S_{GCA}} = {S_{GAB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)

Kẻ \(BP \bot AM\) ta có

 \(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \frac{\dfrac{1}{2}BP.GM}{\dfrac{1}{2}BP.AM} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \) nên \({S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\) (1)

Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có  

\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \text{nên} \,\dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \frac{\dfrac{1}{2}CN.GM}{\dfrac{1}{2}CN.AM} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \text{ suy ra }{S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \text{suy ra }{S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)

b) Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:

\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\) (2 góc đối đỉnh)

nên \( \Delta BPM = \Delta CNM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra BP = CN (cạnh tương ứng)

Mà \({S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\), \({S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\)

Do đó \({S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)

Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ {S_{ABC}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \text{nên } {S_{ABC}} - \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}} \\ \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \text{suy ra }\dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)