Bài tập cuối chương IX trang 84

Giải bài 9.36 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC}\) là góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B, lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\widehat {BAC}\)  là góc tù nên \(\widehat {ADE},\widehat {AED}\)  là các góc nhọn

\( \Rightarrow \widehat {DEC}\) là góc tù

\( \Rightarrow DE < DC\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)

 Xét tam giác ADC có:

\(\widehat {DAC}\) là góc tù nên \(\widehat {ADC},\widehat {ACD}\) là các góc nhọn

\( \Rightarrow \widehat {BDC}\) là góc tù.

\( \Rightarrow DC < BC\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BDC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC > DE

Giải bài 9.37 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC ( AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA ( H.9.52)

a) So sánh \(\widehat {ADE}\) và \(\widehat {AED}\).

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Lời giải chi tiết

a) \(AB > AC \Rightarrow \widehat {ABC} < \widehat {ACB}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ABC)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \widehat {ABD} < {180^0} - \widehat {ACE}\\ \Rightarrow \widehat {ABD} > \widehat {ACE}\end{array}\)

Vì BD= BA nên tam giác ABD cân tại B \( \Rightarrow \widehat {ABD} = {180^0} - 2\widehat {ADB}\)

Vì CE = CA nên tam giác ACE cân tại C \( \Rightarrow \widehat {ACE} = {180^0} - 2\widehat {AEC}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {{180}^0} - 2\widehat {ADB} > {{180}^0} - 2\widehat {AEC}}\\{ \Rightarrow \widehat {ADB} < \widehat {AEC}}\\{Hay{\mkern 1mu} \widehat {ADE} < \widehat {AED}}\end{array}\)

b) Xét tam giác ADE ta có: \(\widehat {ADB} < \widehat {AEC}\)

\( \Rightarrow AD > AE\)(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác). 

Giải bài 9.38 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) \(AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)

b) \(AM < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)

Lời giải chi tiết

a)

AI là đường vuông góc kẻ từ A xuống đoạn thẳng BC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI < AB\\AI < AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2AI < AB + AC\\ \Rightarrow AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\end{array}\) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

b)

Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét \(\Delta ABM\) và \(DCM\) có

AM = DM ( do M là trung điểm của AD)

BM = CM ( do M là trung điểm của BC)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\)( 2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét  \(\Delta ADC\) ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow \)   2AM < AC + AB

\( \Rightarrow \)   AM < \(\dfrac{1}{2}\)(AB + AC) 

Giải bài 9.39 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A

Gợi ý D là trọng tâm của tam gíac ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến.

Lời giải chi tiết

C là trung điểm của AE

\( \Rightarrow \) BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)

D thuộc BC, \(BD = 2DC \Rightarrow BD = 2\left( {BC - BD} \right) \Rightarrow 3BD = 2BC \Rightarrow BD = \dfrac{2}{3}BC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: D là trọng tâm của tam giác ABE

\( \Rightarrow \) AD là đường trung tuyến ứng với BE

Mà AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)

\( \Rightarrow \) Tam giác ABE cân tại A. 

Giải bài 9.40 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một sợ dây thép dài 1,2m. Cần đánh dấu trên sợ dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh bằng 30 cm (h.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.

Lời giải chi tiết

TH1: Cạnh bên bằng 30 cm

Khi đó cạnh đáy bằng: 120 – (30 + 30 ) =60 (cm)

Vì 30 + 30 = 60 nên bộ 3 độ dài này không tạo được thành tam giác.

TH2: Cạnh đáy bằng 30 cm

Khi đó cạnh bên bằng: (120 – 30) : 2 = 45 (cm)

Đánh dấu AB = CD = 45 cm.