Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Lý thuyết Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên Toán 6 KNTT với cuộc sống

1. Phép chia hết

- Cho \(a,b \in Z\) và \(b \ne 0.\) Nếu có số nguyên \(q\) sao cho \(a = bq\) thì ta có phép chia hết

\(a:b = q\)(trong đó \(a\) là số bị chia, \(b.\) là số chia và \(q\) là thương). Khi đó ta nói \(a\) chia hết cho \(b.\) Kí hiệu \(a \vdots b\)

Ví dụ:

\(54 \vdots \left( { - 9} \right)\) vì \(54 = \left( { - 6} \right).\left( { - 9} \right)\). Ta có \(\left( {54} \right):\left( { - 6} \right) = \left( { - 9} \right)\)

\(\left( { - 63} \right) \vdots \left( { - 3} \right)\)  vì \( - 63 = \left( { - 3} \right).21\). Ta có: \(\left( { - 63} \right):\left( { - 3} \right) = 21\)

2. Ước và bội

+) Khi \(a \vdots b\left( {a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0} \right)\), ta còn gọi \(a\) là bội của \(b\) và \(b\) là ước của \((a.\)

+) Để tìm các ước của một số nguyên \(a\) bất kì ta lấy các ước nguyên dương của a cùng với số đối của chúng.

+) Ước của \( - a\) là ước của \(a\).

Chú ý:

+ Số \(0\) là bội của mọi số nguyên khác \(0.\)

+ Số \(0\) không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

+ Các số \(1\) và \( - 1\) là ước của mọi số nguyên.

+ Nếu \(a\) là một bội của \(b\) thì \( - a\) cũng là một bội của \(b\).

+ Nếu \(b\) là một ước của \(a\) thì \( - b\) cũng là một ước của \(a\).

Ví dụ:

Tìm các ước nguyên của 6:

Ta tìm các ước nguyên dương của 6: \(1;2;3;6\)

Số đối của các số trên lần lượt là \( - 1; - 2; - 3; - 6\)

Vậy các ước nguyên của 6 là \(1; - 1;2; - 2;3; - 3;6; - 6\)

Tìm các ước nguyên của \( - 9\):

Ước nguyên của \(9\) luôn là ước nguyên của \( - 9\).

Ta tìm ước nguyên dương của 9: \(1;3;9\)

Các ước của 9 là \(1; - 1;3; - 3;9; - 9\).

Vậy các ước của \( - 9\) là \(1; - 1;3; - 3;9; - 9\).

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP NHÂN, CHIA SỐ NGUYÊN. ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ NGUYÊN

I. Thực hiện phép tính nhân, chia hai số nguyên

Khi thực hiện phép tính ta áp dụng các quy tắc sau:

- Quy tắc nhân hai số nguyên

Với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:

\(m\left( { - n} \right) = \left( { - n} \right)m =  - (m.m)\)

\(\left( { - m} \right)\left( { - n} \right) = \left( { - n} \right)\left( { - m} \right) = mn\)

- Quy tắc dấu của thương:

\(\begin{array}{l}\left(  +  \right):\left(  +  \right) = \left(  +  \right)\\\left(  -  \right):\left(  -  \right) = \left(  +  \right)\\\left(  +  \right):\left(  -  \right) = \left(  -  \right)\\\left(  -  \right):\left(  +  \right) = \left(  -  \right)\end{array}\)

Chú ý:

+ Nếu đổi dấu một thừa số thì tích $ab$ đổi dấu.

+ Nếu đổi dấu hai thừa số thì tích $ab$ không thay đổi.

Chú ý trên vẫn đúng với phép chia.

II. Bài toán đưa về thực hiện phép nhân (chia) hai số nguyên

Bước 1: Căn cứ vào đề bài, suy luận để đưa về phép nhân (chia) hai số nguyên.

Bước 2: Thực hiện phép nhân (chia) hai số nguyên.

Bước 3: Kết luận.

III. Tìm các số nguyên x,y sao cho x.y = a (a thuộc Z)

Phương pháp

 - Phân tích số nguyên $a$ thành tích hai số nguyên bằng tất cả các cách có thể.

- Từ đó tìm được $x,y.$

Ví dụ:

Tìm số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \(\left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 3\)

Ta có: \(3 = ( - 1).( - 3) = 1.3\) nên ta có 4 trường hợp sau:

TH1: \(x - 1 = - 1\) và \(y + 1 = - 3\) suy ra \(x = 0\) và \(y = - 4\)

TH2: \(x - 1 = - 3\) và \(y + 1 = - 1\) suy ra \(x = - 2\) và \(y = - 2\)

TH3: \(x - 1 = 1\) và \(y + 1 = 3\) suy ra \(x = 2\) và \(y = 2\)

TH4: \(x - 1 = 3\) và \(y + 1 = 1\) suy ra \(x = 4\) và \(y = 0\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\, - 4} \right);\,\left( { - 2;\, - 2} \right);\left( {2;\,2} \right);\left( {4;0} \right)} \right\}\).

IV. Bài toán tìm x và tìm số chưa biết trong đẳng thức dạng A.B = 0

- Bài toán tìm x:

+ Muốn tìm số hạng ta lấy tích chia cho số hạng còn lại.

+ Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.

+ Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân số chia.

- Dạng toán \(A.B=0\)

+ Nếu $A.B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0.$

+ Nếu $A.B = 0$ mà $A$ (hoặc $B$ ) khác $0$ thì $B$ ( hoặc $A$ ) bằng $0.$

Ví dụ: Tìm \(x\) biết: \(\left( {x - 2} \right).\left( {x + 5} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right).\left( {x + 5} \right) = 0 \Rightarrow \)\(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\)

Suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = - 5\)

Vậy \(x \in \left\{ {2;\, - 5} \right\}\).

V. Áp dụng tính chất của phép nhân để tính nhanh

Phương pháp:

Bước 1: Quan sát biểu thức và nhận xét về tính chất của các số hạng và thừa số

Bước 2: Áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để tính toán được thuận lợi, dễ dàng.

Sử dụng các tính chất sau đây:

\(a.0 = 0\)

\(a.b = b.a\)

 $a.\left( {b + c} \right) = ab + ac.$       

$a.\left( {b - c} \right) = ab-ac.$

Ví dụ:

a) Tính nhanh: \(A = ( - 4).74.25\)

\(\begin{array}{l}A = ( - 4).74.25\\A = ( - 4).25.74\\A = - 100.74\\A = - 7400\end{array}\)

b) Tính hợp lí: \(B = 30.\left( { - 125} \right) + 25.30\)

 \(\begin{array}{l}B = 30.\left( { - 125} \right) + 25.30\\B = 30.\left[ {\left( { - 125} \right) + 25} \right]\\B = 30.\left( { - 100} \right)\\B = - 3000.\end{array}\).

VI. Tìm ước và bội của một số nguyên cho trước

Phương pháp:

- Tìm các bội của một số nguyên cho trước.

 Dạng tổng quát của số nguyên $a$ là $a.m$$(m \in Z).$

- Tìm tất cả các ước của một số nguyên cho trước

+ Nếu số nguyên đã cho có thể nhẩm được các ước thì ta ưu tiên cách này.

+ Nếu số nguyên đã cho có nhiều ước hoặc khó để nhẩm thì ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố, từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.

Chú ý: Ta tìm các ước dương trước từ đó suy ra các ước âm.

Ví dụ:

a) Tìm các bội nguyên của 4.

Ta lấy 4 nhân lần lượt với các số nguyên: \(..; - \,2;\, - 1;0;1;2;..\)

Các bội nguyên của 4 là: \(..; - 8; - 4;\,0\,;\,4;\,8;..\)

b) Tìm các ước nguyên của 24

Phân tích 24 ra thừa số nguyên tố ta được: \(24 = {2^3}.3\)

Suy ra các ước nguyên của 24 là: \( \pm 1; \pm 2;\,\, \pm 3;\, \pm 4; \pm 6 \pm 8;\,\, \pm 12;\, \pm 24\).

VII. Chứng minh các tính chất về sự chia hết

Phương pháp:

 Sử dụng định nghĩa $a = b.q$ $ \Leftrightarrow a \vdots b$ $\left( {a,b,q \in Z;b \ne 0} \right)$ và các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng, tính chất chia hết của một tổng.

Ví dụ:

Cho \(A = 24m + 21n\,\); \(m,n \in \mathbb{Z}\) chứng minh A chia hết cho 3.

Cách 1:

Ta có \(24m \vdots 3\) và \(21n \vdots 3\) suy ra \(A=\left( {24m + 21n\,} \right) \vdots 3\)

Cách 2: \(A = 24m + 21n\, = 3.8m + 3.7n = 3.\left( {8m + 7m} \right) \vdots 3\). Vậy \(A \vdots 3\).

VIII. Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện về chia hết

Phương pháp:

- Dạng: biểu thức có dạng tổng các số hạng thì ta áp dụng tính chất:

Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ và $a$ chia hết cho $c$ thì $b$ chia hết cho $c.$

- Dạng: Tìm x để \({\rm{a}} \vdots A(x)\) thì \(A(x) \in \)Ư(a), giải các trường hợp ta tìm được các giá trị của \(x\).

Ví dụ:

Tìm \(x\) để \(5 \vdots \left( {x - 2} \right)\)

\(5 \vdots \left( {x - 2} \right) \Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in \)Ư(5) \( \Rightarrow \) \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;1;5; - 5} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {1;3;7; - 3} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;3;7; - 3} \right\}\).

Trả lời Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Trả lời Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Tìm các ước của -9;

b) Tìm các bội của 4 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 20.

Lời giải chi tiết

a) Các ước nguyên dương của 9 là 1;3;9 nên 

Ta có: Các ước của -9 là: -9; -3; -1; 1; 3; 9

b) Các bội nguyên dương của 4 là: 0;4;8;12;16;20;... nên các bội của 4 là: ...; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; ....

Ta có: Các bội của 4 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 20 là: -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16.

Trả lời Tranh luận trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Có hai số nguyên a, b khác nhau nào mà a b và b a không?

Bạn vuông:”Sao mà thế được!”

Bạn tròn: “A ha, tớ vừa tìm thấy hai số như vậy đấy!...”

Không biết tròn tìm được hai số nguyên nào nhỉ?

Lời giải chi tiết

Hai số nguyên đối nhau thì thỏa mãn đề bài, ví dụ: 2(-2)và (-2)2

trithuchub.com

Giải Bài 3.39 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tính các thương:

a) 297 :(-3);

b) (-396): (-12);

c) (-600): 15.

Lời giải chi tiết

a) 297 : (-3) = -99

b) (-396) : (-12) = 33

c) (-600) : 15 = -40

trithuchub.com

Giải Bài 3.40 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

a) Tìm các ước của mỗi số: 30; 42, -50;

b) Tìm các ước chung của 30 và 42.

Lời giải chi tiết

a) Các ước của 30 là: -30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Các ước của 42 là: -42; -21; -14; -7; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

Các ước của -50 là: -50; -25; -10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10; 25; 50

b) Các ước chung của 30 và 42 là: -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6

Giải Bài 3.41 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê phần tử

M = \({\rm{\{ }}x \in \mathbb{Z}|x \vdots 4\,\)và \( - 16 \le x < 20\} \).

Lời giải chi tiết

M = {-16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16}.

Giải Bài 3.42 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm hai ước của 15 có tổng bằng -4.

Lời giải chi tiết

Các ước của 15 là: -15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15

Ta thấy: (-5) + 1 = (-1) + (-3) = -4

Vậy hai ước có tổng bằng -4 là: -5 và 1 hoặc -1 và -3

trithuchub.com

Giải Bài 3.43 trang 74 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Giải thích tại sao: Nếu hai số cùng chia hết cho -3 thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho -3. Hãy thử phát biểu một kết luận tổng quát.

Lời giải chi tiết

Hai số cùng chia hết cho -3 thì được viết dưới dạng (-3).a và (-3).b (a, b \(\in\) Z)

Khi đó:

Tổng 2 số là: (-3).a + (-3).b =  (-3).(a + b) \( \vdots \) (-3)

Hiệu 2 số là: (-3).a - (-3).b = (-3).(a - b)\( \vdots \) (-3)

Tổng quát: Cho các số a, b, c \(\in\) Z, a và b cùng chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c.