Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức
Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Kết nối tri thức
1. Định lí Viète
|
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
|
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
|
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Giải mục 1 trang 21, 22 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Nhắc lại công thức tính hai nghiệm x1,x2 của phương trình trên.
Phương pháp giải:
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0(a≠0). Tính biệt thức Δ=b2−4ac
+ Nếu Δ>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+√Δ2a;x2=−b−√Δ2a.
+ Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b2a.
Lời giải chi tiết:
+ Nếu Δ>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+√Δ2a;x2=−b−√Δ2a.
+ Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b2a.
HĐ2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Từ kết quả HĐ1, hãy tính x1+x2 và x1x2.
Phương pháp giải:
+ Để cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng tử số hai phân số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
+ Để nhân hai phân số với nhau, ta nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số.
Lời giải chi tiết:
Ta có: x1+x2=−b+√Δ2a+−b−√Δ2a=−ba
x1.x2=(−b+√Δ)(−b−√Δ)2a.2a=(−b)2−Δ4a2=b2−b2+4ac4a2=ca
LT1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Không giải phương trình, hãy tính biệt thức Δ (hoặc Δ’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương tình bậc hai sau:
a) 2x2−7x+3=0;
b) 25x2−20x+4=0;
c) 2√2x2−4=0.
Phương pháp giải:
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0(a≠0).
+ Tính biệt thức Δ=b2−4ac hoặc Δ′=b′2−ac với b′=b2.
+ Nếu Δ>0 hoặc Δ′>0 thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm x1+x2=−ba;x1.x2=ca.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: Δ=(−7)2−4.2.3=25>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2.
Theo định lí Viète ta có: x1+x2=72;x1.x2=32.
b) Ta có: Δ′=(−10)2−25.4=0 nên phương trình có nghiệm kép .
Theo định lí Viète ta có: .
c) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lí Viète ta có: .
TL
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Tranh luận trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Tròn nói: Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình đều bằng 1. Ý kiến của em thế nào?
Phương pháp giải:
Tính biệt thức để chứng minh phương trình vô nghiệm, từ đó đưa ý kiến.
Lời giải chi tiết:
Ta có: nên phương trình vô nghiệm.
Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình .
Vậy bạn Tròn nói sai.
Giải mục 2 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ3
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho phương trình 2x2−7x+5=0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ rằng x1=1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x2 của phương trình.
Phương pháp giải:
a) Xác định hệ số của phương trình và tính tổng.
b) Thay x1=1 vào phương trình 2x2−7x+5=0 để chứng minh.
c) Theo định lí Viète ta có x1.x2=52. Thay x1=1 vào phương trình x1.x2=52, tìm được x2.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: a=2;b=−7;c=5 nên a+b+c=2−7+5=0.
b) Thay x1=1 vào phương trình 2x2−7x+5=0 ta có: 2.12−7.1+5=0 (luôn đúng)
Vậy x1=1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Viète ta có: x1.x2=52 suy ra 1.x2=52 nên x2=52
HĐ4
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho phương trình 3x2+5x+2=0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a−b+c.
b) Chứng tỏ rằng x1=−1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x2 của phương trình.
Phương pháp giải:
a) Xác định hệ số của phương trình và tính tổng.
b) Thay x1=−1 vào phương trình 3x2+5x+2=0 để chứng minh.
c) Theo định lí Viète ta có x1.x2=23. Thay x1=−1 vào phương trình x1.x2=23, tìm được x2.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: a=3;b=5;c=2 nên a−b+c=3−5+2=0.
b) Thay x1=−1 vào phương trình 3x2+5x+2=0 ta có: 3.(−1)2+5.(−1)+2=0 (luôn đúng)
Vậy x1=−1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Viète ta có: x1.x2=23 suy ra (−1).x2=23 nên x2=−23
LT2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2−11x+8=0;
b) ;
c) , biết phương trình có một nghiệm là .
Phương pháp giải:
Xét phương trình .
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là .
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là .
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
c) Gọi là nghiệm còn lại của phương trình.
Theo định lí Viète ta có: .
Do đó, .
Vậy phương trình có hai nghiệm .
TTN
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Vuông nói: Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.
Tròn nói: Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình .
Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Tính biệt thức để chứng minh phương trình vô nghiệm, từ đó đưa ý kiến.
Lời giải chi tiết:
Ta có: nên phương trình vô nghiệm.
Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình .
Vậy em không đồng ý với kiến của Tròn.
Giải mục 3 trang 22, 23 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ5
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giả sử hai số có tổng và tích . Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.
a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.
b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.
Phương pháp giải:
a) Vì tổng hai nghiệm bằng 5 nên nghiệm còn lại là .
b) + Thay x và vào biểu thức tích , từ đó tìm được phương trình ẩn x.
+ Giải phương trình ẩn x ta tìm được hai số cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Số còn lại là: .
b) Tích của hai nghiệm bằng 6 nên ta có:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.
LT3
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng , tích của chúng bằng 28.
Phương pháp giải:
+ Hai số đó là nghiệm của phương trình (điều kiện ).
+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).
Lời giải chi tiết:
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình
Ta có:
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
.
Vậy hai số cần tìm là và .
VD
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 24 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Tình huống mở đầu: Bác An có 40m hàng rào lưới thép, Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.
Phương pháp giải:
+ Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:
+ Giải phương trình ta tìm được chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Lời giải chi tiết:
Nửa chu vi của mảnh vườn là: .
Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm
Do đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là 12m và 8m.
Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.
Giải bài tập 6.23 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét phương trình bậc hai một ẩn .
+ Tính biệt thức hoặc với .
+ Nếu hoặc thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm:
Lời giải chi tiết
a) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có:
b) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có:
c) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có:
d) Ta có: nên phương trình vô nghiệm.
Giải bài tập 6.24 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) ;
b) ;
c) , biết phương trình có một nghiệm .
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét phương trình bậc hai một ẩn .
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là .
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là .
Lời giải chi tiết
a) Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
c) Gọi là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète ta có: .
Do đó, .
Vậy phương trình có hai nghiệm .
Giải bài tập 6.25 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Tìm hai số u và v, biết:
a) \(u + v = 20,uv = 99\);
b) \(u + v = 2,uv = 15\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Hai u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)).
+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).
Lời giải chi tiết
a) Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 20x + 99 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 10} \right)^2} - 1.99 = 1 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 10 + 1 = 11;{x_2} = 10 - 1 = 9\).
Vậy \(u = 11;v = 9\) hoặc \(u = 9;v = 11\).
b) Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + 15 = 0\).
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.15 = - 14 < 0\)
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại hai số u và v sao cho \(u + v = 2,uv = 15\).
Giải bài tập 6.26 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm là và thì đa thức được phân tích được thành nhân tử sau: .
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ;
b) .
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh:
+ Biến đổi
+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm:
+ Thay vào đa thức
ta được điều phải chứng minh.
a, b) Tìm nghiệm của phương trình
+ Phân tích đa thức dưới dạng:
Lời giải chi tiết
Ta có:
Vì phương trình có hai nghiệm và nên theo định lí Viète ta có:
.
Thay vào biểu thức ta có:
a) Giải phương trình :
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm
Do đó, .
b) Giải phương trình :
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm
Do đó, .
Giải bài tập 6.27 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích \(300{m^2}\) và chu vi là 74m. Tính các kích thước của bể bơi này.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chiều dài và chiều rộng của bể bơi là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 37x + 300 = 0\)
+ Giải phương trình ta tìm được chiều dài và chiều rộng của bể bơi.
Lời giải chi tiết
Nửa chu vi của mảnh vườn là: \(74:2 = 37\left( m \right)\).
Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 37x + 300 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 37} \right)^2} - 4.1.300 = 169 > 0,\sqrt \Delta = 13\).
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{37 + 13}}{2} = 25;{x_2} = \frac{{37 - 13}}{2} = 12\)
Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12m và 25m.
Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 9
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương 6. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0) - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức
Luyện tập chung trang 18 - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Toán 9 Kết nối tri thức
Luyện tập chung trang 28 - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài tập cuối chương 6 - Toán 9 Kết nối tri thức
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 9
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 9 Lớp LOP9
Sau khi học xong "Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!