Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 Kết nối tri thức

Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Một ca nô xuất phát từ một bến và có chuyển động thẳng theo hướng Đông. Cùng lúc đó, một tàu thủy rời bến và chuyển động thẳng theo hướng Nam với tốc độ lớn hơn tốc độ của ca nô 8km/h. Tính tốc độ của ca nô, biết sau một giờ kể từ lúc xuất phát, khoảng cách giữa ca nô với tàu thủy là 40km.

Lời giải:

Gọi tốc độ của ca nô là \(x\left( {km/h} \right)\left( {x > 0} \right)\).

Tốc độ của tàu thủy là \(x + 8\left( {km/h} \right)\).

Gọi A là vị trí của bến, gọi B, C lần lượt là vị trí của ca nô và tàu thủy sau khi rời bến 1 giờ (như hình vẽ).

Quãng đường ca nô đi được sau 1 giờ là:

\(AB = x.1 = x\left( {km} \right)\)

Quãng đường tàu thủy đi được sau 1 giờ là:

\(AC = \left( {x + 8} \right).1 = x + 8\left( {km} \right)\)

Ca nô và tày thủy chuyển động theo hai hướng vuông góc với nhau nên tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Pythagore).

\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {x + 8} \right)^2} - {40^2}\\{x^2} + {x^2} + 16x + 64 = 1600\\2{x^2} + 16x - 1536 = 0\\{x^2} + 8x - 768 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {4^2} + 768 = 784,\sqrt {\Delta '}  = 28\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 4 - 28}}{1} =  - 32\) (loại); \({x_2} = \frac{{ - 4 + 28}}{1} = 24\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ của ca nô là \(24km/h\).

Giải câu hỏi trang 25, 26, 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 6.28 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích . Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất đó.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), điều kiện: .

Chiều dài của mảnh đất là: .

Khi tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là: .

Khi giảm chiều dài đi 4m thì chiều dài mới là: .

Diện tích mới của của đất là:

Vì tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

Nhân cả hai vế của phương trình với x, để khử mẫu ta được phương trình:

, suy ra

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

(loại)

Do đó, chiều rộng của mảnh đất là 15m và chiều dài của mảnh đất là: .

Giải bài tập 6.29 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 1 200 000 người lên 1 452 000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Lời giải chi tiết

Gọi dân số tăng trung bình mỗi năm là x (x được cho dưới dạng số thập phân), điều kiện: .

Sau năm thứ nhất, số dân của thành phố đó là:

(người)

Sau năm thứ hai, số dân của thành phố đó là:

(người)

Vì sau hai năm, dân số của thành phố là 1 452 000 người nên ta có phương trình:

(do )

(thỏa mãn)

Ta có: 0,1 = 10%

Vậy trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng 10%.

Giải bài tập 6.30 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một thanh sô cô la có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 12cm, chiều rộng 7cm và độ dày 3cm. Do giá nguyên liệu ca cao tăng nhưng vẫn muốn giữ nguyên giá bán nên nhà sản xuất quyết định giảm 10% thể tích của mỗi thanh sô cô la. Để thực hiện việc này, nhà sản xuất dự định làm thanh cô la mới có độ dày 3cm như thanh cũ, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ cùng giảm đi một số centimét. Hỏi kích thước của thanh sô cô la mới là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Thể tích của thanh sô cô la sau khi giảm thể tích là:

.

Gọi số centimét giảm đi ở chiều dài và chiều rộng của thanh sô cô la là x (cm), điều kiện: .

Chiều dài của thanh sô cô la mới là , chiều rộng của thanh sô cô la mới là .

Thể tích của thanh sô cô la mới là:

.

Vì thể tích của thanh sô cô la mới là nên ta có phương trình:

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy kích thước của thanh socola mới là:

Chiều dài:

Chiều rộng:

Độ dày giữ nguyên: 3cm.

Giải bài tập 6.31 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ 96 phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn lúc đi là 100km/h. Tổng thời gian của cả hành trình, kể cả từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ. Tính vận tốc của máy bay lúc đi, biết quãng đường Hà Nội – Thành phố Hồ Chí Minh dài khoảng 1200km.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc máy bay lúc đi là x (km/h), điều kiện: .

Vận tốc máy bay lúc về là: .

Thời gian lúc đi của máy bay là: (giờ).

Thời gian lúc về của máy bay là: (giờ).

Vì máy bay nghỉ 96 phút giờ và tổng thời gian của cả hành trình, kể cả từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ nên ta có phương trình:

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:

Nhân cả hai vế của phương trình với để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:

Ta có:

Suy ra

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

(tm)

Vậy vận tốc lúc đi của máy bay là .

Giải bài tập 6.32 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Sau đó 30 phút, một ô tô con xuất phát từ cùng địa điểm ở Hà Nội và cũng đi về Hải Phòng trên cùng tuyến đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 20km/h. Hai xe đến cùng một địa điểm ở Hải Phòng tại một thời điểm. Hãy tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài khoảng 120km.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc của ô tô khách là x (km/h), điều kiện: \(x > 0\).

Vận tốc của ô tô con là \(x + 20\left( {km/h} \right)\).

Thời gian ô tô khách đi quãng đường Hà Nội – Hải Phòng là: \(\frac{{120}}{x}\) (giờ)

Thời gian ô tô con đi quãng đường Hà Nội – Hải Phòng là: \(\frac{{120}}{{x + 20}}\) (giờ)

Vì xe ô tô khách xuất phát trước ô tô con 30 phút \( = \frac{1}{2}\)giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{120}}{{x + 20}} + \frac{1}{2} = \frac{{120}}{x}\)

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:

\(\frac{{240x}}{{2x\left( {x + 20} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 20} \right)}}{{2x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{{240\left( {x + 20} \right)}}{{2x\left( {x + 20} \right)}}\)

Nhân cả hai vế của phương trình với \(2x\left( {x + 20} \right)\) để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:

\(240x + x\left( {x + 20} \right) = 240\left( {x + 20} \right)\)

\(240x + {x^2} + 20x = 240x + 4800\)

\({x^2} + 20x - 4800 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {10^2} + 4800 = 4900 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 70\), phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 10 + 70 = 60\left( {tm} \right),{x_2} =  - 10 - 70 =  - 80\left( {ktm} \right)\)

Vậy vận tốc của ô tô khách là 60km/h, vận tốc của ô tô con là: \(60 + 20 = 80\left( {km/h} \right)\).

Giải bài tập 6.33 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một xưởng may phải may 1 500 chiếc áo trong thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng may đã may được nhiều hơn 10 chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Do đó, ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được 1 320 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải chi tiết

Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc), điều kiện: $x\in N\ast$.

Theo kế hoạch, số ngày may xong 1 500 chiếc áo là: $\frac{1500}{x}$ (ngày).

Thực tế, mỗi ngày xưởng may số chiếc áo là: $x+10$ (chiếc).

Thực tế, 1 320 chiếc áo được may trong số ngày là: $\frac{1320}{x+10}$ (ngày)

Vì ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng may được 1320 áo nên ta có phương trình:

$\frac{1500}{x}-3=\frac{1320}{x+10}$

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:

Nhân cả hai vế của phương trình với để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:

Ta có: suy ra , phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong 100 cái áo.