Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Toán 9 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua điểm A thì có đi qua điểm B không?

Phương pháp giải:

Chứng minh $OA=OB$, suy ra đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.

Lời giải chi tiết:

Do O thuộc đường trung trực của AB nên $OA=OB$.

Suy ra, đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 72 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

+ Dùng tính chất ba đường trung trực trong tam giác suy ra $OA=OB=OC$.

+ Suy ra, đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O nên $OA=OB=OC$.

Do đó, 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC

CH

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) trong Hình 9.14.

Phương pháp giải:

Chỉ ra 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).

Lời giải chi tiết:

Vì 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A (H.9.15). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

a) Vẽ hai đường trung trực a, b của các cạnh AB, AC, cắt nhau tại M.

b) Hãy giải thích vì sao MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.

c) Hãy giải thích vì sao M là trung điểm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính $MB=MC=\frac{BC}{2}$.

Phương pháp giải:

a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.

Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.

b) + Chứng minh a//AC, b//AB.

+ Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba chứng minh được MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.

c) Chứng minh tứ giác ANMP là hình chữ nhật, suy ra $\widehat{NMP}={90}^o$.

Chứng minh được $\widehat{BMN}={180}^o$ nên 3 điểm M, B, C thẳng hàng. Mà $MB=MC=AM$, M là trung điểm của BC. Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính $MB=MC=\frac{BC}{2}$.

Lời giải chi tiết:

a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.

Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.

b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $AB\perp AC$, vì a là trung trực của AB nên $a\perp AB$, suy ra: a//AC.

Vì b là đường trung trực của AC nên $b\perp AC$, mà $AB\perp AC$(cmt) nên b//AB.

Xét tam giác ABC có:

+ Vì a//AC, mà N là trung điểm của AB nên đường thẳng a đi qua trung điểm của BC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

+ Vì b//AB, mà P là trung điểm của AC nên đường thẳng b đi qua trung điểm của BC. Do đó, MP là đường trung bình của tam giác ABC.

c) Vì đường thẳng a và b cùng đi qua trung điểm của BC nên đường thẳng a và b cắt nhau tại trung điểm của BC.

Mà M là giao điểm của a và b (gt)

Do đó M là trung điểm của BC.

Suy ra $MB=MC=\frac{BC}{2}$

Vì $M\in a$ nên MA = MB (tính chất đường trung trực)

Suy ra $MA=MB=MC=\frac{BC}{2}$.

Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và bán kính $MB=MC=\frac{BC}{2}$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có $AC=3cm,AB=4cm$ và $BC=5cm$. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Pythagore đảo chứng minh tam giác ABC vuông tại A, suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $\frac{BC}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\left(do{3}^2+4^2=5^2\right)$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Do đó, bán kính đường tròn tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}\left(cm\right)$.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

a) Vẽ tam giác đều ABC. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vẽ đường tròn đó.

b) Giải thích vì sao tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).

c) Giải thích vì sao $\widehat{OBM}={30}^o$ và $OB=\frac{\sqrt{3}}{3}BC$ (với M là trung điểm của BC).

Phương pháp giải:

a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) + Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực đồng thời là trọng tâm của tam giác đó.

+ Suy ra, tâm O đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác đó.

c) Gọi E là giao điểm của BO và AC.

+ Chứng minh BE là đường phân giác và trung tuyến của tam giác đều ABC.

Do đó, $OB=\frac{2}{3}BE$, $\widehat{OBM}={30}^o$

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BEC để tính BE, từ đó tính OB.

Lời giải chi tiết:

a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Vì tam giác ABC đều nên O vừa là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác, vừa là trọng tâm của tam giác. Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó.

c) Tam giác ABC đều nên $BC=AC,\widehat{ABC}={60}^o$

Vì tam giác ABC đều nên BO là đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác.

Do đó $\widehat{OBM}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$.

Vì tam giác OBM vuông tại M nên áp dụng tỉ số lượng giác ta có:

$cosOBM=\frac{BM}{OM}$

suy ra $OB=\frac{BM}{cosOBM}=\frac{BC}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}BC$

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính bằng 4cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

+ Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC. Do đó: $OA=\frac{BC\sqrt{3}}{3}$, từ đó tính được BC.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC.

Do đó: $OA=\frac{BC\sqrt{3}}{3}$ suy ra $BC=\sqrt{3}OA=4\sqrt{3}\left(cm\right)$.

Vậy cạnh của tam giác đều bằng $4\sqrt{3}cm$.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 74 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác đồng quy tại điểm I. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC, CA và AB (H.9.19).  

a) Hãy giải thích vì sao các điểm D, E, F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.

b) Gọi (I) là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao (I) tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất: Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác, do đó $IE=ID=FI$.

b) Vì $IE\perp AC\left(E\in AC\right),IE=R$ nên AC tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại E, tương tự ta chứng minh được đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

a) Vì D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC, CA và AB nên $IF\perp AB,IE\perp AC,ID\perp BC$.

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên I cách đều ba cạnh AB, AC, CB. Do đó, $IE=IF=ID$

Do đó, ba điểm D, E, F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.

b) Gọi $IE=IF=ID=R$ nên ba điểm D, E, F cùng nằm trên đường tròn (I; R).

Vì $IE\perp AC\left(E\in AC\right),IE=R$ nên AC tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại E.

Vì $IF\perp AB\left(F\in AB\right),IF=R$ nên AB tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại F.

Vì $ID\perp BC\left(D\in BC\right),ID=R$ nên BC tiếp xúc với đường tròn (I; R) tại D.

Vậy đường tròn (I) ở trên tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.

CH

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 75 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?

Phương pháp giải:

Mỗi tam giác có một đường tròn nội tiếp. Có một tam giác ngoại tiếp một đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Mỗi tam giác có một đường tròn nội tiếp.

Có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn (lấy ba điểm trên đường tròn và vẽ ba tiếp tuyến của đường tròn tại ba điểm đó sao cho các tiếp tuyến cắt nhau tại ba điểm lập thành ba đỉnh của một tam giác, tam giác đó ngoại tiếp đường tròn).

Ví dụ:

Các tam giác NPT, INQ, JPR, IMS cùng nội tiếp đường tròn O. Ta có thể vẽ nhiều hơn các tam giác ngoại tiếp đường tròn O này.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 75 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC đều có trọng tâm G.

a) Giải thích vì sao G cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}BC$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất: Trong tam giác đều, trọng tâm đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác. Suy ra, G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) + Gọi D là giao điểm của AG và CB. Khi đó, GD là bán kính đường tròn đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AG là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Theo tính chất của trọng tâm trong tam giác ABC ta có: $GD=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{3}AD$.

+ Dựa vào kiến thức bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ lần độ dài cạnh để tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác ABC đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác. Do đó, G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Vì G là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác đều ABC (do G là trọng tâm tam giác ABC) nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi D là giao điểm của AG và CB. Suy ra, AG là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ABC đều nên AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác. Do đó, $GD\perp CB$ tại D. Suy ra, GD là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $AG=2GD$ suy ra $GD=\frac{1}{2}AG$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $AG=\frac{\sqrt{3}}{3}BC$

Do đó, $GD=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{6}BC$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}BC$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác đều ABC (H.9.22).

a) Vẽ đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC.

b) Biết rằng $BC=4cm$, hãy tính bán kính r.

Phương pháp giải:

a) + Vẽ ba đường phân giác của tam giác ABC.

+ Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác đó.

+ Gọi H là giao điểm của AI và BC. Vẽ đường tròn tâm I, bán kính IH.

+ Khi đó, đường tròn (I; IH) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC cần vẽ.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}a$

Lời giải chi tiết:

a) Vẽ ba đường phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác đó.

Gọi H là giao điểm của AI và BC. Vẽ đường tròn tâm I, bán kính IH.

Khi đó, đường tròn (I; IH) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC cần vẽ.

b) Vì (I; r) nội tiếp tam giác ABC nên bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$r=\frac{BC\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)$