Bài 29. Tứ giác nội tiếp - Toán 9 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD có $\hat{A}=\hat{C}={90}^o$ (H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng BD.

Phương pháp giải:

+ Do tam giác ABD vuông tại A nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính BD với trung điểm của BD là tâm.

+ Vì tam giác CBD vuông tại C nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn đường kính BD với trung điểm của BD là tâm.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABD vuông tại A nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn (O).

Vì tam giác CBD vuông tại C nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn (O).

Do đó, 4 đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của BD.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 80 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?

Phương pháp giải:

+ Gọi E là trung điểm của AD.

+ Chứng minh được OE là đường trung trực của AD.

+ Chứng minh tương tự ta có các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD cũng đi qua O.

+ Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AD. Tam giác AOD cân tại O (do $OA=OD$) nên OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác. Do đó, $OE\perp AD$ tại E.

Vì $OE\perp AD$ tại E và E là trung điểm của AD nên OE là đường trung trực của AD.

Do đó, đường trung trực của đoạn thẳng AD đi qua O.

Chứng minh tương tự ta có: Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD đi qua O.

Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 81 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong HĐ2 và tính tổng $\hat{A}+\hat{C}$. So sánh kết quả của em với các bạn.

Phương pháp giải:

Sử dụng thước đo góc để đo các góc A và C rồi tính tổng $\hat{A}+\hat{C}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\hat{A}={115}^o,\hat{C}={65}^o$ và $\hat{A}+\hat{C}={65}^o+{115}^o={180}^o$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 81 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng $\hat{B}={60}^o,\hat{C}={80}^o$.

a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.

Phương pháp giải:

a) + Chứng minh các tam giác BEC và tam giác BFC là các tam giác vuông.

+ Suy ra, các điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}={180}^o,\widehat{ECB}+\widehat{BFE}={180}^o$, từ đó tính được các góc BFE và CEF.

Lời giải chi tiết:

a) Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $BE\perp AC,CF\perp AB$. Do đó, tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E.

Vì tam giác BFC vuông tại F nên ba điểm B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vì tam giác BEC vuông tại E nên ba điểm B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên

+ $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}={180}^o$, hay $\widehat{FEC}={180}^o-\widehat{FBC}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

+ $\widehat{ECB}+\widehat{BFE}={180}^o$, hay $\widehat{BFE}={180}^o-\widehat{ECB}={180}^o-{80}^o={100}^o$.

TTN1

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 1 trang 82 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao ABCD là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp giải:

+ Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD.

+ Sử dụng tính chất đường trung trực chứng minh được .

+ Suy ra, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD.

Vì O thuộc trung trực của AB nên .

Vì O thuộc trung trực của AC nên .

Vì O thuộc trung trực của AD nên .

Do đó, .

Suy ra, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O). Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 82 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hình chữ nhật ABCD và giao điểm M của hai đường chéo AC và BD (H.9.33).

a) Hãy giải thích vì sao điểm M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

c) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất hình chữ nhật suy ra: nên M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

b) Vì nên bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BD.

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật, M là giao điểm của hai đường chéo nên (tính chất hình chữ nhật). Do đó, M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

b) Ta có: nên bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BD.

Do đó, hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 82 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3cm (H.9.34).

Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Phương pháp giải:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.

+ Chứng minh nên chứng minh được đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn có bán kính bằng nửa độ dài đường chéo trong hình vuông ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên .

Do đó, 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn có bán kính bằng nửa độ dài đường chéo trong hình vuông ABCD.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

Suy ra bán kính là:

CH

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 82 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?

Phương pháp giải:

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có duy nhất một hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O).

Lời giải chi tiết:

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có duy nhất một hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 83 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác chứng minh được: MN//AC, PQ//AC, nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

+ Chứng minh được MQ//BD, MN//AC, nên nên .

+ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

+ Chứng minh BMPC là hình bình hành suy ra độ dài MP, từ đó ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBPQ.

Lời giải chi tiết:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN//AC, (1).

Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MQ//BD, .

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó, PQ//AC, (2).

Từ (1) và (2) ta có: và MN//PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành (3).

Vì MN//AC, (do ABCD là hình thoi) nên

Vì MQ//BD, nên (4)

Từ (3) và (4) ta có: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Nối MP. Xét tứ giác BMPC có:

(do )

Suy ra BMPC là hình bình hành, nên

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ có bán kính là .

TTN2

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 2 trang 83 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có nằm trên một đường tròn không?

Phương pháp giải:

Chứng minh các hình chữ nhật ABCD, AECF nội tiếp đường tròn đường kính AC. Do đó, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Vì AECF là hình chữ nhật nên AECF nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Do đó, hai hình chữ nhật ABCD, AECF cùng nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Suy ra, các hình chữ nhật có chung một đường chéo thì nằm trên một đường tròn.