Luyện tập chung trang 90 - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài tập 9.31 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $AD\perp BC,BE\perp AC,CF\perp AB$.

Do đó, $\widehat{ADB}$ $=\widehat{ADC}$ $=\widehat{BEC}$ $=\widehat{BEA}$ $=\widehat{AFC}$ $=\widehat{CFB}$ $={90}^o$.

Vì $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={90}^o$ nên tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E. Do đó, hai điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

Vì $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}={90}^o$ nên tam giác AFC vuông tại F và tam giác ADC vuông tại D. Do đó, hai điểm D, F thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó, tứ giác CAFD là tứ giác nội tiếp.

Vì $\widehat{ADB}=\widehat{AEB}={90}^o$ nên tam giác ADB vuông tại D và tam giác AEB vuông tại E. Do đó, hai điểm E, D thuộc đường tròn đường kính BA. Do đó, tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp.

Giải bài tập 9.32 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như Hình 9.58. Biết và , tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Lời giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên

Tam giác ADE có:

Tam giác ABF có:

Tứ giác ABCD có:

Do đó,

Giải bài tập 9.33 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do đó, đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là đường tròn tâm O, bán kính OD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A có:

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Tam giác AOB có: (bán kính đường tròn (O)) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó,

Chứng minh tương tự ta có:

Tứ giác AEOH có: nên tứ giác AEOH là hình chữ nhật.

Mà AO là tia phân giác của góc HAE (do ABCD là hình vuông) nên AEOH là hình vuông.

Do đó, .

Chứng minh tương tự ta có:

Do đó: . Suy ra, đường tròn (O; OE) nội tiếp hình vuông ABCD.

Ta có:

Chu vi đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

Giải bài tập 9.34 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.

a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.

b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một hình bát giác đều hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) + Vẽ đường tròn (O). Trên đường tròn vẽ hình vuông ABCD sao cho các đỉnh A, B, C, D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

+ Vẽ điểm E thuộc đường tròn (O) sao cho và tia OA quay thuận theo chiều kim đồng hồ đến tia OE.

+ Xác định các điểm F, G, H tương tự như xác định điểm E. Nối A với E, E với D, D với H, H với C, C với G, G với B, B với F, F với A ta được đa giác EAFBGCHD.

b) Vì A, E, D, H, C, G, B, F cùng thuộc (O) nên

Vì ABCD là hình vuông nên

Lại có:

nên

Ta có:

Suy ra:

+)

+)

Do đó,

Đa giác EAFBGCHD có

Do đó đa giác EAFBGCHD là hình bát giác đều.

Giải bài tập 9.35 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.59.

a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C.

b) Phép quay trên sẽ biến các điểm B, C, D, E lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE không?

Lời giải chi tiết

a) Phép quay chiều thuận ${216}^o$ tâm O biến điểm A thành điểm C.

b) Phép quay chiều thuận tâm O biến điểm E thành điểm B, điểm D thành điểm A, điểm C thành điểm E, điểm B thành điểm D. Do đó, phép quay này giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE.

Giải bài tập 9.36 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Lời giải chi tiết

Nối các cặp đỉnh đối diện của lục giác với nhau, ta được điểm O là tâm của hình lục giác lớn và lục giác nhỏ.

Ta chia hình lục giác thành 6 tam giác đều chung đỉnh O, 2 đỉnh còn lại là các đỉnh 2 đỉnh kề nhau của lục giác.

Lấy hai điểm A, B là hai đỉnh kề nhau của lục giác nhỏ như hình vẽ. Đặt AB = x (cm) .

Khi đó đều có và .

Kẻ . Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

Suy ra

Ta có diện tích hình lục giác đều nhỏ là:

S_{lục giác đều nhỏ} .

Theo đề bài, diện tích lục giác đều nhỏ bằng hai lần diện tích mỗi hình thang nên diện tích mỗi hình thang là:

S_{hình thang} = S_{lục giác đều nhỏ} : 2 = ,

suy ra tổng diện tích 6 hình thang là:

Do đó, diện tích lục giác đều lớn là:

S_{lục giác đều lớn} = S_{lục giác đều nhỏ} + S_{6 hình thang} (1)

Mà tương tự như S_{lục giác đều nhỏ}, ta cũng có thể tính được diện tích lục giác đều theo độ dài cạnh của nó theo công thức với x là độ dài cạnh.

Suy ra S_{lục giác đều lớn}   (2)

Từ (1) và (2), ta có phương trình:

suy ra , do đó (thỏa mãn vi ).

Vậy cạnh của lục giác đều nhỏ là 5cm.