Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức
Flashcard 60s: Kiến thức cốt lõi
Lật thẻ nhớ nhanhChỉ 1 phút nắm trọn định nghĩa, dạng bài và bí quyết làm bài trước khi đọc giải
Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh: Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức
Lý thuyết Đa giác đều Toán 9 Kết nối tri thức
1. Đa giác đều
Đa giác
Những hình như dưới đây được gọi chung là các đa giác.
- Đa giác ABCDE (hình a) là hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
Đa giác ABCDE có:
+ năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E,
+ năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA
+ năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.
- Nếu với một cạnh bất kì, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong c không phải đa giác lồi.
Đa giác đều
|
Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. |
Các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.
Ví dụ: Một số hình đa giác đều thường gặp trong hình học:
2. Phép quay
Khái niệm phép quay
|
Phép quay thuận chiều \(\alpha ^\circ \) (0° < \(\alpha ^\circ \) < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo \(\alpha ^\circ \) (hình a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều \(\alpha ^\circ \) tâm O (hình b). Chú ý: Phép quay 0° và phép quay 360° giữ nguyên mọi điểm.
|
Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều
|
Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều ℋ nếu phép quay đó biến mỗi điểm của ℋ thành một điểm của ℋ. Nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều ℋ thành các đỉnh của ℋ thì phép quay đó giữ nguyên ℋ. |
Ví dụ:
Phép quay thuận chiều \(45^\circ \) tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay đó biến các điểm C, D, H, K tương ứng thành các điểm D, E, K, A.
Giải mục 1 trang 84, 85, 86 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 84 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.
- Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho:
ˆAOB=ˆBOC=ˆCOD=ˆDOE=ˆEOA=360o5=72o.
Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).
Phương pháp giải:
+ Chứng minh được các tam giác
Suy ra: và
+ Suy ra:
Lời giải chi tiết:
Vì đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) nên .
Theo giả thiết:
Do đó, .
Suy ra:
Do đó,
Suy ra: .
Vậy các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau.
CH
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 85 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp một đường tròn bán kính 2cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều đó bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?
Phương pháp giải:
+ Chứng minh
Suy ra
+ Chứng minh tam giác AOB đều, từ đó tính được AB và .
+ Tính được .
Lời giải chi tiết:
Vì ABCDEF là lục giác đều .
Mà lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên
.
Do đó,
Do đó,
+)
+)
Tam giác AOB có: nên tam giác OAB đều.
Do đó, và
Suy ra:
Do đó:
Vậy lục giác đều ABCDEF nội tiếp (O) bán kính 2cm có độ dài cạnh bằng 2cm và số đo các góc lục giác đều bằng
LT1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 86 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?
Phương pháp giải:
+ Chứng minh nên .
+ Chứng minh được và
Suy ra (\widehat {KMN} = {180^o} - 2\widehat {KMA}\).
+ Chứng minh tương tự ta có: . Do đó, đa giác MNPQK là ngũ giác đều.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCDE là ngũ giác đều nên
,
Vì M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EA.
Do đó,
Ta có: và
Suy ra:
Do đó: + .
+
Ta có: (các góc kề bù)
Mà nên .
Vì (các góc kề bù)
Mà nên .
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó,
Từ (1) và (2) suy ra: MNPQK là ngũ giác đều.
TTN1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 1 trang 87 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O (H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
+ Gọi ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).
+ Chứng minh , suy ra:
+ Tính được:
+ Do đó
Lời giải chi tiết:
Gọi ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).
Vì ABCDEFGH là bát giác đều nên
.
Vì ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp (O) nên
.
Do đó,
Suy ra:
Tam giác AOB cân tại O (do ) nên .Do đó,
Chứng minh tương tự ta có:
Suy ra .
Vậy mỗi góc của bát giác đều bằng .
Giải mục 2 trang 87, 88, 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
HĐ2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 87 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm A trên bàn xoay hình tròn với tâm O sao cho điểm A khác điểm O. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ (H.9.46) thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm B.
Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm A, B có cùng nằm trên một đường tròn tâm O hay không?
Phương pháp giải:
Khoảng cách từ hai điểm A và B đến O bằng nhau. Hai điểm A, B cùng nằm trên một đường tròn, có bán kính .
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ hai điểm A và B đến O bằng nhau. Hai điểm A, B cùng nằm trên một đường tròn, có bán kính .
HĐ3
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 87 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Trên bàn xoay tâm O, vẽ tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn (O) và hai tia OA, OB (H.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A có di chuyển đến điểm B không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn (O)? Khi đó, điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?
Phương pháp giải:
Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), thì điểm A có di chuyển đến điểm B và sẽ di chuyển trên cung AB, điểm C di chuyển đến điểm A.
Lời giải chi tiết:
Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), thì điểm A có di chuyển đến điểm B và sẽ di chuyển trên cung AB, điểm C di chuyển đến điểm A.
CH
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 88 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
a) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm A’. Hỏi điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O hay không?
b) Nếu phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều tâm O biến điểm B thành điểm A hay không?
Phương pháp giải:
a) Chứng minh 3 điểm A, O, A’ thẳng hàng và , suy ra điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O.
b) Nếu phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều tâm O biến điểm B thành điểm A.
Lời giải chi tiết:
a)
Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm A’ thì và . Do đó, 3 điểm A, O, A’ thẳng hàng và . Suy ra, điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O.
b) Nếu phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều tâm O biến điểm B thành điểm A.
LT2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 88 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.50.
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông ABCD không?
b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD.
Phương pháp giải:
+ Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
+ Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.
Lời giải chi tiết:
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm tương ứng B, C, D, A.
b) Ba phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD là phép quay theo chiều tâm O với lần lượt nhận các giá trị .
TTN2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 2 trang 89 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O).
Phương pháp giải:
+ Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
+ Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.
Lời giải chi tiết:
6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O) là: 6 phép quay thuận chiều kim đồng hồ góc tâm O với lần lượt nhận các giá trị .
Giải bài tập 9.24 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Hình phẳng có dạng đa giác đều là: b, d vì các hình này có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Giải bài tập 9.25 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm M và N thỏa mãn phép quay thuận chiều tâm O biến điểm M thành điểm N?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
Lời giải chi tiết
Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm M thành điểm N tức là điểm N thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia ON thì điểm M tạo nên cung MN số đo .
Do đó, hình d đúng.
Giải bài tập 9.26 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
+ Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC. Do đó: OA=BC√33, từ đó tính được BC.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC.
Do đó: .
Vậy cạnh của tam giác đều bằng .
Giải bài tập 9.27 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho hình thoi ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh tam giác ABD đều nên .
+ Chứng minh .
+ Chứng minh
+ Suy ra MBNPDQ là lục giác đều.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thoi nên .
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên (1)
Tam giác ABD có: nên tam giác ABD là tam giác cân tại A, mà nên tam giác ABD đều. Do đó, .
Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD (gt) nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, (2).
Vì N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD (gt) nên NP là đường trung bình của tam giác CBD. Do đó, (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: (*)
Vì ABCD là hình thoi nên
Ta có:
Tam giác NPC có: nên tam giác NPC cân tại C. Mà nên tam giác NPC đều.
Do đó,
Ta có: (hai góc kề bù) nên
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó: (**)
Từ (*) và (**) ta có: MBNPDQ là lục giác đều.
Giải bài tập 9.28 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh
Suy ra ADBECF là lục giác đều.
Lời giải chi tiết
Vì lục giác ADBECF nội tiếp đường tròn (O) nên
.
Vì phép quay ngược chiều tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F nên .
Vì tam giác ABC đều nên AO, BO là các đường phân giác của tam giác ABC.
Ta có:
Tam giác OAB có: .
Suy ra:
Tam giác AOD cân tại O (do ), mà nên tam giác DAO đều.
Do đó,
Tương tự ta có:
Do đó, ;
Vậy ADBECF là lục giác đều.
Giải bài tập 9.29 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\left( {{0^o} < {\alpha ^o} < {{360}^o}} \right)\) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo \({\alpha ^o}\).
+ Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.
Lời giải chi tiết
Năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O là: Các phép quay theo chiều kim đồng hồ tâm O với các góc quay lần lượt là: \({72^o};{144^o};{216^o};{288^o};{360^o}\).
Giải bài tập 9.30 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đề bài
Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi tám cabin tạo thành một bát giác đều BACDEFGH nội tiếp đường tròn (O).
+ Chứng minh , suy ra:
+ Tính góc AOG
+ Để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất (vị trí cabin G) thì vòng quay phải quay theo chiều thuận kim đồng hồ quanh tâm góc .
Lời giải chi tiết
Gọi tám cabin tạo thành một bát giác đều BACDEFGH nội tiếp đường tròn (O).
Vì BACDEFGH là bát giác đều nên
Vì BACDEFGH là bát giác nội tiếp đường tròn (O) nên
Do đó
Suy ra
Ta có:
Để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất (vị trí cabin G) thì vòng quay phải quay theo chiều thuận kim đồng hồ quanh tâm góc .
Công cụ tra cứu bỏ túi cho Toán Lớp 9
Tra cứu nhanh công thức, bảng biểu và phương pháp giải miễn phí 24/7
Tổng hợp công thức trọng tâm từ lớp 6 đến 12 chuẩn SGK mới GDPT 2018.
Giải phương trình bậc 2, hệ 2 ẩn với các bước biến đổi chi tiết.
Tính chu vi, diện tích tam giác, hình tròn, nón, trụ, cầu và Oxyz.
Luyện bảng nhân 2-9, mẹo tính nhẩm nhanh & đổi đơn vị đo lường.
Đánh giá độ hữu ích của lời giải
Ý kiến của em giúp Tri Thức Hub nâng cao chất lượng bài giảng
Lời giải bài Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức có giúp em hiểu rõ phương pháp và tự làm được bài tập không?
Em đã nắm chắc bài học chưa?
Trắc nghiệm củng cố: Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức
Thử sức ngay với 5 câu trắc nghiệm nhanh dưới đây để củng cố kiến thức và nhận kết quả cùng lời giải thích chi tiết ngay tại chỗ!
Bài học cùng chuyên đề: Chương 9. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
Bài 27. Góc nội tiếp - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Toán 9 Kết nối tri thức
Luyện tập chung trang 78 - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài 29. Tứ giác nội tiếp - Toán 9 Kết nối tri thức
Luyện tập chung trang 90 - Toán 9 Kết nối tri thức
Bài tập cuối chương 9 - Toán 9 Kết nối tri thức
Đề ôn luyện trắc nghiệm liên quan
Trắc nghiệm củng cố: Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức
Bộ câu hỏi gồm 15 câu bám sát bài học có giải thích chi tiết.
Kho đề thi & Kiểm tra định kỳ Lớp 9
Tổng hợp đề thi giữa kỳ, học kỳ và đề ôn luyện trắc nghiệm trực tuyến miễn phí.
Luyện đề thi Giữa kì & Học kì Toán Lớp 9 Lớp LOP9
Sau khi học xong "Bài 30. Đa giác đều - Toán 9 Kết nối tri thức", bạn có thể thử sức ngay với kho đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kì chuẩn phân phối chương trình Kết Nối Tri Thức. Hỗ trợ tải trọn bộ PDF đề bài kèm Lời giải chi tiết trên App Tri Thức Hub!
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!